화도읍 고3수학과외: 확률변수의 분포를 읽고 기댓값 검산하기
화도읍의 심석고등학교와 마석고등학교, 남양주고등학교 학생들은 학교별 내신 일정과 주간 학습 시간이 다르므로, 기댓값 문제도 풀이 순서를 스스로 세우는 연습이 필요하다. 보학마을과 상계전마을 등 생활권에서 이동하는 학생은 짧은 시간에도 분포표의 조건을 먼저 확인하는 습관을 만들도록 지도했다.
단순평균으로 시작한 계산
학생은 확률변수 \(X\)가 다음과 같은 확률분포를 가질 때 계산을 시작하며 확률을 곱하지 않았다.
\[ \begin{array}{c|ccc} X & 1 & 3 & 8\\ \hline P(X=x) & \frac12 & \frac13 & \frac16 \end{array} \]
계산 흔적에는 다음과 같이 적혀 있었다.
오답: \(E(X)=\dfrac{1+3+8}{3}=4\)
이 식은 확률이 서로 다르다는 조건을 무시한 단순평균이므로 틀렸다. 각 값이 나타나는 비율이 다르기 때문에 \(1,3,8\)을 같은 비중으로 취급할 수 없다. 먼저 확률의 합을 확인하면
\[ \frac12+\frac13+\frac16=1 \]
이므로 기댓값 공식을 사용할 수 있다. 기댓값은 각 확률변수의 값에 그 값이 나올 확률을 곱해 더해야 한다.
\[ E(X)=1\cdot\frac12+3\cdot\frac13+8\cdot\frac16 =\frac12+1+\frac43 =\frac{17}{6} \]
틀린 줄을 표시하고 조건부터 다시 확인한 과정
- 학생은 \(E(X)=\frac{1+3+8}{3}\)에 밑줄을 긋고, 세 값의 발생 가능성이 같은지 확인했다.
- 분포표의 확률이 \(\frac12,\frac13,\frac16\)으로 서로 다르다는 점을 표시했다.
- 각 값과 확률을 대응시켜 \(1\cdot\frac12,\;3\cdot\frac13,\;8\cdot\frac16\)으로 식을 다시 작성했다.
- 계산 후 \(E(X)=\frac{17}{6}\)을 원래 범위 \(1\leq X\leq8\)와 비교해 가능한 값인지 확인했다.
또한 \(X\)가 1, 3, 8 중 하나의 값을 가지므로 기댓값이 최솟값 1보다 작거나 최댓값 8보다 클 수 없다는 점을 이용했다. 단순평균 \(4\) 자체는 범위 안에 있지만, 범위 검사는 정답을 보장하지 않는다. 반드시 확률을 반영한 식을 세워야 한다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 유형을 반복하지 않기 위해 분포와 값의 위치를 바꾸어 다음 문제를 해설 없이 다시 풀었다.
\[ \begin{array}{c|ccc} Y & 0 & 4 & 10\\ \hline P(Y=y) & \frac14 & \frac12 & \frac14 \end{array} \]
학생은 먼저
\[ \frac14+\frac12+\frac14=1 \]
을 확인한 뒤 단순평균 \(\frac{0+4+10}{3}\)을 버리고
\[ E(Y)=0\cdot\frac14+4\cdot\frac12+10\cdot\frac14 =0+2+\frac52=\frac92 \]
으로 계산했다. \(\frac92\)는 \(Y\)의 최솟값 0과 최댓값 10 사이에 있으므로 범위 조건도 만족한다. 확률이 모두 같을 때만 단순평균과 기댓값이 일치한다는 사실까지 스스로 정리하며, 다음 문제에서도 값과 확률의 대응 관계를 먼저 표시하기로 했다.