화도읍 고2 수학: 교대부호 수열의 시작항과 항번호 판별
화도읍에서 심석고등학교, 마석고등학교, 남양주고등학교의 학교별 일정에 맞춰 수열을 공부하다 보면, 같은 교대부호라도 첫째항의 부호가 달라지는 문제를 만나게 된다. 보학마을이나 상계전마을 생활권에서 귀가 후 짧게 풀이할 때에도 계산부터 하기보다 항번호와 항값의 관계를 먼저 확인해야 한다.
-1, 1, -1, 1에서 지수를 먼저 읽기
수열의 첫 네 항이
-1, 1, -1, 1, …
이라면 일반항은
an = (-1)n
이다. 실제로 n=1일 때 (-1)1=-1, n=2일 때 (-1)2=1이 된다. 반대로
1, -1, 1, -1, …
은
an = (-1)n+1
로 나타낸다. n=1을 대입하면 (-1)2=1이기 때문이다. 두 표현은 비슷해 보이지만 첫째항의 부호가 반대이므로 서로 바꾸어 쓸 수 없다.
계산 결과보다 먼저 적어야 할 세 칸
예를 들어
an = 2n(-1)n
일 때 a5를 구한다고 하자. 항번호 n=5를 먼저 넣으면
a5 = 2×5×(-1)5 = 10×(-1) = -10
이다. 항번호를 확인하지 않고 2×5=10만 계산한 뒤 부호를 붙이면 오류가 생긴다.
풀이 여백을 다음처럼 나누면 오류 위치를 구별할 수 있다.
- 조건: n=5, (-1)n이므로 홀수 항은 음수
- 계산: 2×5×(-1)5=-10
- 검산: a1=-2, a2=4, a3=-6, a4=8, a5=-10
여기서 학생이 -1, 1, -1, 1을 보고 (-1)n+1이라고 적었다면 계산 실수보다 적용 조건을 잘못 읽은 것이다. 첫째항이 음수인지 양수인지가 일반항의 지수를 결정한다.
부호식과 항값을 섞지 않는 훈련
다음 수열을 직접 분리해 적는다.
3, -6, 12, -24, …
절댓값은 3×2n-1이고, 첫째항이 양수이므로 부호는 (-1)n+1이다. 따라서
an = 3×2n-1(-1)n+1
이다. 실제로 n=1을 대입하면 3×1×1=3, n=2를 대입하면 3×2×(-1)=-6이 된다. 항값의 크기와 부호를 각각 확인한 뒤 결합해야 한다.
풀이가 막힌 자리에는 조건·계산·검산 중 어느 칸에서 오류가 났는지 표시하고, 그 칸만 다시 쓴다. 예를 들어 첫째항의 부호를 잘못 읽었다면 검산 칸에 a1을 대입해 일반항의 시작 부호부터 고친다.
비슷한 두 문제 중 적용 가능한 식 고르기
다음 두 수열을 비교한다.
- 4, -4, 4, -4, …
- -4, 4, -4, 4, …
1번은 첫째항이 양수이므로 an=4(-1)n+1이고, 2번은 첫째항이 음수이므로 an=4(-1)n이다. 숫자의 크기가 같아도 첫 항의 부호가 다르면 적용할 식도 달라진다.
예를 들어 2번 수열에서 a7을 구하면
a7=4(-1)7=-4
이다. 검산 칸에서 홀수 번째 항이 음수라는 사실까지 확인해야 새로운 숫자와 항번호에서도 같은 판단을 유지한 것으로 볼 수 있다.