호평동 고3수학과외: 표의 확률값과 분포 조건을 함께 읽기
호평동의 호평고등학교와 판곡고등학교 학생을 지도할 때는 귀가 시각과 과제량에 따라 풀이 순서를 조정하되, 확률 문제에서는 계산보다 확률변수의 값, 각 확률, 전체합의 관계를 먼저 확인하게 한다. 호평도서관에서 자습한 뒤 풀어 온 한 고3 학생은 표의 조건이 두 가지 바뀌었는데도 이전 공식만 반복해 대입하고 있었다.
표의 모양을 식으로 바꾸는 과정
확률변수 X의 값과 확률이 다음과 같다고 하자.
- X의 값: 0, 1, 2, 3
- P(X=x): k, 2k, 3k, 4k
- 조건: P(X≥2) = 0.7
학생은 왼쪽 여백에 ‘확률 합 조건 누락’이라고 적었지만, 실제 풀이에서는
k + 2k + 3k + 4k = 0.7, 따라서 k = 0.07
이라고 계산했다. 이 식은 틀린 식이다. 0.7은 전체 확률이 아니라 X가 2 이상일 때의 확률이므로, 모든 항의 합에 사용할 수 없다. 또한 4개 확률의 전체합은 반드시 1이어야 한다.
먼저 전체합 조건으로
10k = 1, 따라서 k = 0.1
을 얻는다. 그러면 주어진 조건은
P(X≥2) = 3k + 4k = 7k = 0.7
이 되어 정확히 맞는다. 학생은 틀린 줄에 사선을 긋고, ‘0.7은 전체합이 아님’이라고 표시한 뒤 조건별로 어떤 항을 더하는지 다시 구분했다. 마지막에는 실제 확률을 표로 옮겨 0.1+0.2+0.3+0.4=1인지 확인하고, P(X≥2)=0.3+0.4=0.7인지 역검산했다.
부분합과 그래프를 함께 확인하기
막대그래프에서는 X=0,1,2,3에 해당하는 막대의 높이가 각각 0.1, 0.2, 0.3, 0.4가 된다. 특히 X≥2인 오른쪽 두 막대의 합만 0.7이어야 하므로, 전체 네 막대를 더한 값과 특정 구간의 부분합을 섞으면 안 된다. 학생은 실제로 앞의 두 항을 더해 0.3, 뒤의 두 항을 더해 0.7로 기록하며 표와 그래프의 관계를 맞췄다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음에는 확률변수 Y가 이항분포 B(5, 0.4)를 따른다고 하자. 이항모수가 바뀐 새 문제에서
P(Y=2)=5C2(0.4)2(0.6)3=10×0.16×0.216=0.3456
이다. 학생은 이번에는 먼저 ‘이항분포이므로 각 확률을 합해 1이 되는 구조’와 ‘Y=2는 정확히 두 번 성공’이라는 조건을 적었다. 이어
P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)=1
을 확인해 확률변수의 값 전체를 빠뜨리지 않았는지 검산했다. 조건이 바뀐 표에서도 합=1을 먼저 세우고, 특정 사건의 확률은 해당하는 항만 부분합으로 계산하는 습관이 핵심이다.