호평동고2수학과외

호평동 고2수학과외, 나열된 항에서 일반항을 검산하는 과정

호평고등학교와 판곡고등학교 학생의 수열 풀이를 살펴볼 때, 귀가 후 과제에서 정답식만 빠르게 적는지 항번호와 실제 항의 관계까지 확인하는지가 중요하다. 호평도서관에서 학교 프린트를 정리하듯, 수열도 나열된 숫자를 일반항으로 바꾼 뒤 반드시 대조해야 한다.

2, 5, 8만 보고 식을 확정한 지점

수열이

2, 5, 8, 11, …

로 주어졌다면 항이 3씩 증가하므로 등차수열의 공차는 3이다. 첫째항이 2이므로

a_n = 2 + (n - 1)·3 = 3n - 1

이 된다. 따라서 학생이 적은 a_n = 3n - 1 자체는 맞다. 다만 2, 5, 8만 확인하고 네 번째 항을 대입하지 않았다면, 식의 정확성을 검산한 풀이로 보기는 어렵다. 실제로 n=4를 넣으면 3·4-1=11이므로 네 번째 항과 일치한다.

표현이 바뀌면 항번호부터 다시 연결하기

계수와 부호가 바뀐 수열

-4, -1, 2, 5, …

에서는 공차가 3이고 첫째항이 -4이므로

a_n = -4 + (n - 1)·3 = 3n - 7

이다. 여기서 원래 식의 숫자만 바꾸어 3n - 1이라고 쓰면 안 된다. n=1에서 -4가 나오는지, n=2에서 -1이 나오는지를 확인해야 한다.

오류가 시작된 자리에서 이어서 고치는 훈련

변형문제에서 일반항을 검산하지 않은 흔적이 보이면 풀이 전체를 처음부터 베껴 쓰지 않는다. 학생이 일반항을 확정한 바로 다음 줄에 다음 세 칸을 작성한다.

1. 첫째항 확인: a₁ = 3·1 - 7 = -4
2. 둘째항 확인: a₂ = 3·2 - 7 = -1
3. 넷째항 확인: a₄ = 3·4 - 7 = 5

이처럼 오류가 생긴 일반항 결정 단계에서 멈추고 항번호를 대입하면, 나열된 규칙과 식이 실제로 연결되는지 답안 안에서 확인할 수 있다.

분수로 바뀐 항에서도 관계가 유지되는가

이번에는

1/2, 1, 3/2, 2, …

를 보자. 공차는 1/2이고 첫째항은 1/2이므로

a_n = 1/2 + (n - 1)·1/2 = n/2

이다. n=1, 2, 4를 대입하면 각각 1/2, 1, 2가 되어 주어진 항과 일치한다. 정수 수열에서 사용한 표현을 그대로 옮기지 않고, 공차와 첫째항을 새 조건에 맞게 정한 뒤 검산했는지가 확인 지점이다.