평내동 고3수학과외, 확률분포표에서 최초 불일치 찾기
평내고등학교를 오가는 학생은 중학교 때보다 이동과 과제, 시험 준비가 함께 늘어난다. 평내상업지구와 상록아파트 생활권에서 공부할 때도 긴 풀이를 처음부터 반복하기보다 확률분포표의 조건과 계산이 처음 어긋난 줄을 찾는 연습이 효율적이다.
음수 확률이 생긴 순간을 표시하다
확률변수 X의 확률분포가 다음과 같고 E(X)=1이라고 하자.
- P(X=0)=k
- P(X=1)=2k
- P(X=2)=1-3k
학생은 표의 첫 칸에 X=0, 1, 2를 적지 않은 채 평균 계산부터 반복했다.
E(X)=0×k+1×2k+2×(1-3k)=2-4k
그런데 다음 줄에서 이항한 상수의 부호를 잘못 처리했다.
오답: 2-4k=1 → -4k=1 → k=-1/4
이 식은 틀렸다. 2-4k=1에서 양변에 2를 빼면 -4k=-1이어야 하므로 k=1/4이다. 오답값을 대입하면 P(X=1)=2k=-1/2가 되어 음수 확률이 발생한다. 확률은 0 이상 1 이하이므로 이 줄에서 이미 풀이가 중단되어야 한다.
조건을 다시 적고 한 줄만 수정하기
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 변수 범위와 확률의 관계를 따로 확인했다.
- 0≤k, 0≤2k, 0≤1-3k이므로 0≤k≤1/3
- 평균 조건: 2-4k=1
- 수정: -4k=-1, 따라서 k=1/4
따라서 확률은
P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/4
이다. 합은 1/4+1/2+1/4=1이고, 평균도 0×1/4+1×1/2+2×1/4=1로 원조건에 맞는다.
분산까지 확인하면
E(X²)=0²×1/4+1²×1/2+2²×1/4=3/2
V(X)=E(X²)-{E(X)}²=3/2-1=1/2
가 된다. 단순히 같은 계산을 다시 하는 것이 아니라, 음수 확률이 생긴 최초의 부호 오류를 찾아 수정하고 원조건에 재대입한 것이다.
계수를 바꾼 새 분포로 독립 검증
이번에는 분포를 바꾸어 P(Y=0)=k, P(Y=1)=3k, P(Y=2)=1-4k이고 E(Y)=6/5인 경우를 확인했다.
E(Y)=3k+2(1-4k)=2-5k=6/5
k=4/25
따라서 확률은 4/25, 12/25, 9/25이며 합은 1, 모두 양수다. 또
E(Y²)=12/25+36/25=48/25
V(Y)=48/25-(6/5)²=48/25-36/25=12/25
이다. 계수와 평균조건을 바꾼 문제에서도 변수 범위, 확률의 부호, 합, 평균, 분산을 차례로 확인하면서 잘못된 후보를 제거할 수 있다.