평내동고2수학과외

평내동고2수학과외: 2, 5, 8만으로 일반항을 확정하면 생기는 오류

평내동에서 평내고등학교의 수학 과제와 지필평가를 준비할 때, 수열 단원에서는 계산보다 나열된 항에서 어떤 규칙을 인정할 수 있는지 판단하는 과정이 중요하다. 평내상업지구와 상록아파트 생활권에서 귀가 후 제한된 시간에 문제를 풀다 보면 학생은 익숙한 차이만 확인하고 일반항을 곧바로 적기 쉽다.

2, 5, 8 다음 줄에서 멈춘 풀이

문제에 수열의 앞부분이

2, 5, 8, …

로 제시되자, 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.

a_n = 3n - 1

실제로 이 식은 n=1, 2, 3을 대입하면 각각 2, 5, 8을 만들어 내므로 산술수열이라는 규칙을 적용했을 때는 맞다. 그러나 2, 5, 8만 보고 이 식이 유일하다고 확정할 수는 없다. 풀이에서 빠진 줄은 ‘어떤 규칙의 수열인지’ 또는 ‘일반항의 형태가 무엇인지’에 대한 조건이다.

공차를 확인한 것과 일반항을 확정한 것은 다르다

연속한 항의 차이는

5-2=3,   8-5=3

이다. 따라서 이 수열이 등차수열이라는 조건이 있다면 공차는 3이고 첫째항은 2이므로

a_n = 2 + (n-1)·3 = 3n-1

이 된다. 여기서 반드시 ‘등차수열’이라는 조건을 옆에 적어야 한다. 앞의 세 항만 일치하는 다른 식도 만들 수 있기 때문이다. 예를 들어

b_n = 3n-1 + (n-1)(n-2)(n-3)

도 n=1, 2, 3에서는 곱셈 부분이 0이므로

b₁=2,   b₂=5,   b₃=8

을 만족한다. 하지만 b₄=17이고, 3n-1의 네 번째 항은 11이다. 따라서 나열된 세 항만으로는 일반항이 하나로 결정되지 않는다.

계산 줄 옆에 빠진 조건을 남기는 훈련

같은 유형을 다시 풀 때는 답만 지우지 않고, 다음 세 줄을 남긴다.

1. 주어진 항: a₁=2, a₂=5, a₃=8
2. 확인한 규칙: a_n+1-a_n=3
3. 필요한 조건: 수열이 등차수열

그다음에야

a_n=a₁+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1

을 적는다. 이 과정을 거치면 ‘차이가 같아 보인다’는 관찰과 ‘등차수열의 일반항 공식으로 계산한다’는 판단이 분리된다.

네 번째 항 조건이 붙었을 때 후보를 끝까지 대입하기

검증 문제로 다음 조건을 제시한다.

a₁=2, a₂=5, a₃=8, a₄=11

이때는 앞의 세 항만 맞는 식을 고르는 것이 아니라 네 항을 모두 확인해야 한다. 첫 번째 후보는

3n-1

이므로 a₄=11이다. 두 번째 후보는

3n-1+(n-1)(n-2)(n-3)

이므로 a₄=11+6=17이다. 따라서 두 번째 식은 네 번째 조건에서 탈락하고, 주어진 네 항과 등차 규칙을 함께 만족하는 후보로 3n-1을 남긴다.

새 조건에서 풀이를 시작할 때도 먼저 주어진 항과 수열의 규칙을 적고, 일반항을 정한 뒤 여러 항에 대입해 확인하는지가 관찰 지점이다. 2, 5, 8만 보고 바로 결론을 내리지 않고 조건을 표시했다면, 일반항을 구하는 계산과 그 식이 실제 수열을 설명하는지에 대한 검산이 한 줄로 연결된 것이다.