진접읍 고3수학과외: 표의 확률변수를 새 식으로 바꾸는 연습
진접고등학교와 광동고등학교가 있는 진접읍에서는 통학 후 남는 자습시간을 짧게 나누어 조건 해석을 점검할 수 있다. 진접삼부르네상스더퍼스트아파트나 내동마을에서 학교와 수업 장소를 오간 뒤, 이 학생은 계산량보다 확률변수의 값과 범위를 먼저 확인하는 방식으로 학습하고 있다.
표의 값이 바뀌면 확률도 다시 모아야 한다
확률변수 X의 분포가 다음과 같다고 하자.
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(X=x) | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.3 |
새로운 확률변수를 Y=|X-2|로 정의할 때, Y의 분포를 구한다. 학생은 처음에 X의 값이 0부터 3까지라는 사실만 보고 이전에 그렸던 분포 모양을 그대로 옮겼다.
학생의 오답: Y의 범위는 0≤Y≤3이고, P(Y=1)=P(X=1)=0.2이다.
이 식은 틀렸다. Y는 X 자체가 아니라 |X-2|의 값이므로 X=1과 X=3이 모두 Y=1로 모인다. 또한 X=0, 1, 2, 3을 직접 대입하면 Y의 값은 2, 1, 0, 1뿐이므로 Y의 허용값은 {0,1,2}이다.
오답 줄부터 조건과 변수의 관계를 다시 확인하기
학생은 오답 줄에 밑줄을 긋고 첫 조건을 다시 적었다.
0≤X≤3, Y=|X-2|
그다음 부호가 바뀌는 지점인 X=2를 기준으로 나누었다.
- X≤2이면 Y=2-X
- X≥2이면 Y=X-2
각 X를 대입하면 다음과 같다.
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Y=|X-2| | 2 | 1 | 0 | 1 |
따라서 확률을 같은 Y값끼리 합치면
P(Y=0)=P(X=2)=0.4
P(Y=1)=P(X=1)+P(X=3)=0.2+0.3=0.5
P(Y=2)=P(X=0)=0.1
정리하면 Y의 분포는 다음과 같다.
| Y | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(Y=y) | 0.4 | 0.5 | 0.1 |
확률의 합도 0.4+0.5+0.1=1이므로 원래 분포와 일치한다. 학생은 재풀이 마지막에 네모칸으로 {0,1,2}를 적고, 대표값 Y=1과 Y=2를 대입했다. Y=1은 X=1, 3에서 나오고, Y=2는 X=0에서만 나오므로 같은 결론이 다시 확인된다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 방식의 변환을 반복하지 않고, 이번에는 성공 횟수의 확률변수로 바꾸어 확인했다. 5번의 독립 시행에서 성공확률이 0.4일 때 성공 횟수를 Z라 하면
Z~B(5,0.4)
이고, Z=2일 확률은
P(Z=2)=₅C₂(0.4)²(0.6)³=10×0.16×0.216=0.3456
이다. 시행 횟수와 성공확률이 바뀌면 이항분포의 모수도 함께 바뀐다는 점을 확인하면서, 표에서 식으로 표현이 바뀔 때에도 먼저 확률변수의 의미와 허용 범위를 다시 정하는 습관을 적용했다.