와부읍 고3 수학과외에서 확률변수 오답을 고치는 과정
와부읍의 와부고등학교와 덕소고등학교 학생은 방과후 통학 동선과 이동 시간을 고려하면, 짧게 확보한 자습시간에도 풀이의 첫 식을 점검하는 습관이 중요하다. 같은 남양주시의 동화고등학교·진접고등학교·심석고등학교는 참고 학교이며 와부읍 소재 학교로 구분하지 않는다.
분산 계산보다 먼저 확인한 확률변수의 정의
학생은 다음 확률분포의 분산을 구하면서 답지와 다른 값을 얻었다.
P(X=0)=\frac14, \quad P(X=1)=\frac12, \quad P(X=3)=\frac14
학생의 첫 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.
E(X)=0\cdot\frac14+1\cdot\frac12+2\cdot\frac14=1
이 식은 오답이다. 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 3인데, 학생이 X=3을 X=2로 잘못 읽어 가능한 값을 바꾸었기 때문이다. 확률의 합은 맞더라도 확률변수의 값 하나를 바꾸면 기댓값과 분산이 모두 달라진다.
정확한 기댓값은
E(X)=0\cdot\frac14+1\cdot\frac12+3\cdot\frac14=\frac54
이고, 제곱의 기댓값은
E(X^2)=0^2\cdot\frac14+1^2\cdot\frac12+3^2\cdot\frac14=\frac{11}{2}
따라서
V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2=\frac{11}{2}-\left(\frac54\right)^2=\frac{63}{16}
맞는 중간식을 지우지 않고 수정한 순서
- 틀린 줄 표시: X=3인 항을 X=2로 쓴 첫 번째 기댓값 식에 밑줄을 그었다.
- 조건 확인: 표에서 X의 가능한 값이 0, 1, 3인지 확인하고, 확률의 합도 \frac14+\frac12+\frac14=1인지 점검했다.
- 식 수정: 잘못된 항만 2\cdot\frac14에서 3\cdot\frac14로 바꾸었다.
- 역계산: \frac54와 \frac{11}{2}\를 이용해 분산을 다시 계산했다.
- 대표값 대입: X가 0, 1, 3일 때 평균에서의 편차 제곱을 직접 계산해 \frac{63}{16}이 나오는지 확인했다.
이전에는 답이 다르면 맞게 적은 중간식까지 모두 지웠지만, 이제는 해설과 달라진 첫 줄을 찾고 그 아래 식을 보존한다. 확률변수의 값, 확률, 기댓값을 각각 괄호로 묶어 확인하는 방식이다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음 문제로 같은 원리를 확인했다.
P(Y=-1)=\frac12, \quad P(Y=2)=\frac13, \quad P(Y=5)=\frac16
가능한 값은 -1, 2, 5이며 확률의 합은 1이다. 학생은 먼저
E(Y)=(-1)\cdot\frac12+2\cdot\frac13+5\cdot\frac16=\frac23
를 구했다. 또한
E(Y^2)=1\cdot\frac12+4\cdot\frac13+25\cdot\frac16=\frac{25}{3}
이므로
V(Y)=\frac{25}{3}-\left(\frac23\right)^2=\frac{71}{9}
이다. 이번에는 Y가 가질 수 있는 값을 빠뜨리지 않았고, 확률의 합과 평균을 먼저 확인한 뒤 분산을 계산해 첫 오답이 확률변수의 정의에서 발생하는지 스스로 검증했다.