오남읍중2수학과외, 수형도 가지를 생략할 때 경우의 수를 놓치지 않는 연습
경우의 수 문제는 계산 자체보다 어떤 선택을 했는지 끝까지 기록하는 일이 중요하다. 특히 수형도를 그리다가 중간 가지를 생략하면 실제보다 적은 경우를 세거나 같은 경우를 두 번 포함하기 쉽다. 오남읍에서 중2 수학을 공부하는 학생도 학교 수업, 학원, 이동 시간에 따라 문제를 다루는 시간이 달라지므로 모든 학생에게 같은 분량을 정하기보다 한 문제를 어떻게 세었는지 확인하는 방식이 필요하다.
답을 먼저 쓰고 가지를 줄이는 습관
학생은 “빨강, 파랑, 초록 공 중 두 개를 차례로 뽑을 때 경우의 수”라는 문제를 보면 수형도를 그리다가 첫 번째 빨강에서 이어지는 두 번째 선택만 적고, 파랑과 초록에서 뻗는 가지는 생략한다. 이후 2개 또는 3개라고 답하며, 왜 그렇게 세었는지 설명하지 못한다.
이때 단순히 “수형도를 꼼꼼히 그려라”라고 하면 행동이 달라지지 않는다. 먼저 문제의 질문을 짧게 다시 쓴다. 예를 들어 “두 번의 선택 결과는 모두 몇 가지인가?”처럼 묻는 대상을 한 문장으로 바꾼다. 그다음 첫 번째 선택의 수와 두 번째 선택의 수를 각각 표시하고, 순서를 구별하는지 확인한다.
문장제의 긴 상황을 그대로 계산하지 말고, ‘무엇의 경우를 세는가’를 한 줄로 바꾼 뒤 가지를 만든다.
수형도에서 실제로 빠지는 지점
예를 들어 숫자 1, 2, 3이 적힌 카드 중 한 장을 뽑고 다시 넣은 뒤 한 장을 더 뽑는다면 첫 번째 선택은 3가지, 두 번째 선택도 각 경우마다 3가지이다. 수형도의 가지는 3×3으로 모두 9가지다. 반면 카드를 다시 넣지 않는다면 첫 번째 선택 뒤 남은 카드는 2장이므로 3×2=6가지가 된다.
학생의 오답은 계산 실수라기보다 조건 누락이다. ‘다시 넣는다’는 조건을 읽지 않았거나, 첫 번째 선택 뒤에도 같은 수의 가지가 이어지는지 확인하지 않은 것이다. 또 ‘12’와 ‘21’을 같은 결과로 보는지 다른 결과로 보는지도 문제의 상황에 따라 달라진다. 두 장을 차례로 뽑는다면 일반적으로 순서를 구별하지만, 두 수를 골라 두 자리 수를 만드는 것이 아니라 단순히 두 장의 조합만 묻는다면 해석을 먼저 확인해야 한다.
가지마다 짧은 표식을 붙이는 훈련
훈련할 때는 수형도 전체를 예쁘게 다시 그리는 데 시간을 쓰지 않는다. 첫 번째 가지 옆에 1차, 두 번째 가지 옆에 2차라고 적고, 각 끝점에 결과를 짧게 쓴다. 1에서 시작한 가지라면 11, 12, 13처럼 기록한다. 카드가 다시 들어가지 않는 문제라면 11은 만들 수 없다는 표시를 하고 12, 13만 남긴다.
그 뒤 다음 세 가지를 확인한다.
- 각 단계에서 선택할 수 있는 대상의 수가 조건에 맞는가?
- 끝점에 적은 결과가 서로 겹치거나 빠지지 않았는가?
- 문제가 묻는 것이 순서 있는 결과인지, 선택한 묶음인지 구분했는가?
문장제에서는 상황 설명 전체를 식으로 옮기려 하지 않는다. “두 번 뽑고 다시 넣는다”를 “3가지가 두 단계 반복된다”로 바꾸고, 필요한 관계만 3×3으로 적는다. 반대로 다시 넣지 않는다면 3×2로 적는다. 학생이 혼자 공부하는 날에는 새 문제를 많이 추가하기보다 기존에 틀린 한 문제의 조건에 밑줄을 긋고 수형도의 끝점을 다시 세게 한다.
다음 날 숫자와 조건을 바꾼 독립 확인
같은 문제를 다시 맞힌 것만으로는 수형도 사용법을 익혔다고 보기 어렵다. 다음 날에는 숫자와 조건을 바꾼다. 예를 들어 1, 2, 3, 4 중 한 장을 뽑아 다시 넣고 한 장을 더 뽑는 문제는 4×4=16가지이다. 다시 넣지 않는다면 4×3=12가지다. 두 경우의 수형도에서 각 첫 번째 가지 아래로 뻗는 가지 수가 달라지는지 확인한다.
또 “두 자리 수를 만든다”는 표현을 넣어 12와 21을 각각 세어야 하는지 묻고, “두 카드를 고른다”로 바꾸어 순서를 구별하지 않는 상황과 비교한다. 시간 제한을 3분으로 정한 뒤 문제의 질문을 먼저 쓰고, 조건 표시, 가지 수, 끝점 검사를 순서대로 수행하게 한다. 답만 맞고 끝점 하나가 빠졌다면 다시 해결한 것으로 보지 않는다.
오남읍 학생의 학습 일정에 맞춘 관리
오남읍에는 양오중학교, 어람중학교, 오남중학교가 있으며, 같은 남양주시의 가운중학교와 광동중학교는 참고 학교로 구분된다. 제공된 자료상 양지아파트 등이 확인되는 생활권 안에서도 학생의 통학과 주간 일정은 서로 다를 수 있다. 따라서 지역 전체를 하나의 시험 성향으로 단정하기보다 학교에서 받은 프린트와 현재 틀린 문항을 기준으로 수형도 기록 방식을 조정한다.
과외에서는 첫 시간부터 경우의 수 전 범위를 넓게 다루지 않는다. 학생이 빠뜨린 가지 하나를 찾아 그 가지가 왜 필요한지 말하게 하고, 조건이 바뀌었을 때 곱셈식이 어떻게 달라지는지 확인한다. 피곤한 날에는 고난도 문항 대신 질문 한 줄 쓰기와 끝점 표시를 먼저 진행한다. 수형도를 그리지 않아도 되는 문제인지까지 판단할 수 있을 때 해당 항목을 마무리한다.
자주 묻는 점
- 수형도를 항상 전부 그려야 하나요? 큰 수에서는 단계별 가지 수와 끝점 목록으로 줄일 수 있지만, 선택이 겹치거나 조건이 바뀌는 문제는 일부 가지를 직접 확인하는 편이 안전합니다.
- 곱셈으로 바로 계산해도 되나요? 각 단계의 선택 수가 조건에 따라 일정하게 정해지는지 확인한 뒤 사용해야 합니다.
- 순서를 구별해야 하는지 모르겠어요. 문제의 질문이 ‘차례로 뽑은 결과’인지 ‘고른 묶음’인지 짧게 다시 쓰면 판단하기 쉽습니다.