오남읍중1수학과외, 전개도에서 접히는 면을 공간으로 바꾸는 연습
“이 면이 위로 올라가면 옆면과 겹치지 않나요?” 전개도 문제에서 자주 나오는 막힘은 공식을 몰라서가 아니라, 종이에 펼쳐진 면을 다시 접었을 때의 위치를 머릿속에서 연결하지 못하는 데서 시작된다. 교과서 예제의 전개도는 따라 그릴 수 있어도 숫자나 배열이 달라지면 어느 면이 밑면이고 어느 면이 옆면인지 다시 판단하지 못하는 경우가 있다.
오남읍의 양오중학교, 어람중학교, 오남중학교 등 학교별 수업 자료와 주간 일정은 서로 다를 수 있다. 같은 남양주시의 가운중학교와 광동중학교는 참고 학교일 뿐 오남읍 소재 학교로 볼 수 없다. 따라서 특정 지역 학생의 공통 성향을 정하기보다, 학교 숙제와 복습 시간 안에서 전개도를 실제 입체로 해석하는 과정을 점검하는 편이 적절하다.
전개도를 보자마자 겉넓이를 계산하는 경우
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 직육면체 전개도에 가로 6cm, 세로 4cm, 높이 3cm가 표시되어 있을 때 학생은 그림의 작은 직사각형 하나를 보고 곧바로 “6×4=24이므로 답은 24㎠”라고 쓴다. 그러나 문제에서 요구한 것은 전체 겉넓이일 수 있다. 직육면체의 겉넓이는 서로 마주 보는 면이 각각 한 쌍씩 있으므로
2×(6×4)+2×(4×3)+2×(6×3)=48+24+36=108㎠
로 계산한다. 여기서 핵심은 공식을 먼저 외우는 것이 아니다. 전개도에서 같은 크기의 면이 몇 개 있는지 찾고, 각각이 실제 입체의 어느 면이 되는지를 확인하는 것이다. 학생이 그림의 면을 세기 전에 숫자부터 곱하면, 한 면만 계산하거나 같은 면을 두 번 세는 오류가 생긴다.
종이를 접는 대신 면의 연결 관계를 표시하기
처음부터 머릿속으로 입체를 완성하려고 하지 않고 전개도의 각 면에 번호를 붙인다. 밑면 후보를 ①로 정한 뒤, ①과 변을 공유하는 면을 ②, ③, ④, ⑤처럼 표시한다. ①과 직접 변을 공유하지 않는 면은 어느 면을 따라 접혀 올라가는지 연결선을 확인한다. 이때 점이나 꼭짓점 하나만 닿는 면을 옆면으로 세면 안 된다. 면과 면이 한 변을 공유하는지 살펴야 한다.
예를 들어 정육면체 전개도에서 가운데 면을 ①, 그 위와 아래, 왼쪽과 오른쪽 면을 각각 ②, ③, ④, ⑤로 표시하고, 끝에 붙은 면을 ⑥으로 둔다. ①을 밑면으로 접으면 ②·③·④·⑤가 네 옆면이 되고 ⑥은 위에서 닫히는 면이 된다. 실제로 작은 종이 모형을 한 번 접어 볼 수 있지만, 매번 모형에 의존하지 않도록 이후에는 화살표와 번호만으로 접힌 뒤 위치를 설명하게 한다.
구할 대상을 그림 안에서 먼저 찾기
전개도 문제를 풀 때 학생이 수행할 순서는 다음처럼 짧게 고정할 수 있다.
- 문제에서 구하는 것이 한 면의 넓이인지, 전체 겉넓이인지, 부피인지 문장에 표시한다.
- 전개도의 각 면에 번호를 붙이고 같은 크기의 면끼리 짝을 짓는다.
- 밑면과 옆면을 구분한 뒤 주어진 길이를 해당 면의 변에 연결한다.
- 면의 넓이를 중간식으로 적고, 마지막에 필요한 항을 모두 더한다.
- 길이의 단위가 cm라면 넓이는 ㎠, 부피는 ㎤인지 확인한다.
특히 “구할 것”을 표시하는 과정이 중요하다. 겉넓이를 묻는데 한 면의 넓이만 구했는지, 부피를 묻는데 전개도의 면 넓이를 더하고 있는지 마지막에 체크칸으로 확인한다. 부모나 지도자는 답만 맞았는지 묻기보다 “①번 면은 접은 뒤 어디에 있지?”, “이 숫자는 어느 변의 길이야?”처럼 면의 관계를 말하게 할 수 있다.
숫자가 바뀌면 다시 무너지는지 확인하기
같은 문제를 바로 한 번 더 풀어 맞히는 것만으로는 독립 적용을 확인하기 어렵다. 하루 뒤에는 전개도의 배열은 비슷하게 두되 숫자를 바꾼 문제를 제시한다. 예를 들어 가로 8cm, 세로 5cm, 높이 2cm인 직육면체의 겉넓이를 구하게 하면
2×(8×5)+2×(5×2)+2×(8×2)=80+20+32=132㎠
가 된다. 이때 학생이 8×5만 계산하는지, 세 종류의 면을 모두 찾는지 관찰한다. 다음에는 전개도를 90도 회전시키거나 밑면 후보의 위치를 바꾸어 제시할 수 있다. 모양이 달라져도 번호를 붙이고 면의 짝을 찾는다면 단순한 그림 암기에서 벗어난 것이다.
또한 숫자만 변경한 문제에서 답을 구한 뒤, “왜 5×2인 면이 두 개 필요한가?”를 한 문장으로 쓰게 한다. “서로 마주 보는 면은 크기가 같고 두 개씩 있기 때문이다”라고 설명할 수 있어야 계산과 공간 이해가 연결된 것으로 볼 수 있다. 전개도에 불필요한 길이가 하나 더 표시된 문제에서는 모든 숫자를 식에 넣지 않고, 실제 해당 면의 변인지 먼저 확인하게 한다.
복습을 끝내는 기준
전개도 학습은 문제 수를 늘리는 것보다 새로운 배열과 숫자에서 같은 판단을 재현하는지가 기준이 된다. 하루 뒤 변형 문제에서 밑면과 옆면을 스스로 구분하고, 중간식을 남기며, 단위까지 맞게 적었다면 해당 유형의 집중 복습을 종료할 수 있다. 반대로 답은 맞았지만 접힌 뒤 면의 위치를 설명하지 못했다면 전개도 번호 표시와 연결 관계 말하기만 짧게 다시 연습한다.
오남읍중1수학과외에서 전개도를 다룰 때도 학생 대신 입체를 설명해 주기보다, 학생이 구할 대상과 면의 관계를 표시하고 다음 날 다른 숫자로 다시 판단하도록 구성하는 것이 중요하다. 그래야 교과서 그림을 기억해 푸는 단계에서 벗어나, 처음 보는 전개도에서도 필요한 면을 찾아 계산하는 방식으로 전환할 수 있다.