오남읍 고3수학과외에서 확률변수와 사건을 분리하는 연습
오남읍의 오남고등학교 학생은 학교별 내신 일정과 주간 학습량에 맞춰 확률과 통계 문제를 풀이하고 있었다. 양지아파트 생활권에서 통학한 뒤 짧은 시간에 답을 완성하려다 보니, 확률변수의 값과 그 값이 나타나는 사건을 같은 대상으로 처리하는 실수가 반복되었다.
값과 사건은 서로 다른 개념이다
이산확률변수 X를 이틀 동안 지각한 날의 수라고 하자. 가능한 값과 확률이 다음과 같이 주어졌다.
P(X=0)=\frac{1}{5}, \quad P(X=1)=\frac{3}{10}
확률의 합이 1이므로
P(X=2)=1-\frac{1}{5}-\frac{3}{10} =1-\frac{2}{10}-\frac{3}{10} =\frac{1}{2}
여기서 1과 X=1은 확률변수의 값이고, {X=1}은 “지각한 날이 정확히 하루인 사건”이다. 따라서 확률을 쓸 때는 단순히 값 1을 적는 것이 아니라 어떤 사건을 의미하는지 표시해야 한다.
잘못된 풀이: X=1이므로 P(X≥1)=P(X=1)=\frac{3}{10}
이 식은 틀렸다. 사건 X≥1에는 X=1뿐 아니라 X=2도 포함되기 때문이다. 학생은 답안 여백에서 확률변수의 값 1과 사건 {X=1}을 같은 칸에 적었고, 그 결과 조건의 범위를 확인하지 않았다.
틀린 줄을 기준으로 다시 계산하기
- 틀린 줄에 밑줄을 긋고 P(X≥1)의 범위를 확인한다.
- X의 가능한 값이 0, 1, 2임을 표로 다시 적는다.
- 사건 {X≥1}={X=1}∪{X=2}로 분해한다.
- 서로 겹치지 않는 사건이므로 확률을 더한다.
따라서
P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2) =\frac{3}{10}+\frac{1}{2} =\frac{3}{10}+\frac{5}{10} =\frac{4}{5}
경계도 따로 확인했다. X≥1에서는 경계값 1이 포함되지만, X>1에서는 1이 제외된다.
P(X>1)=P(X=2)=\frac{1}{2}
두 결과가 다르므로 부등호의 경계를 생략하면 안 된다. 마지막으로 \frac{1}{5}+\frac{3}{10}+\frac{1}{2}=1인지 역산하여 확률분포 자체도 검산했다.
분포를 바꾼 독립 검증
새로운 확률변수 Y가 다음 분포를 가진다고 하자.
Y=-1,0,2,4
P(Y=-1)=\frac{1}{8},\quad P(Y=0)=\frac{1}{4},\quad P(Y=2)=\frac{3}{8},\quad P(Y=4)=\frac{1}{4}
먼저 확률의 합을 확인하면
\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{1}{4} =\frac{1+2+3+2}{8}=1
이때 사건 {Y≥0}은 Y=0, 2, 4를 포함하므로
P(Y≥0)=\frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{1}{4} =\frac{2+3+2}{8} =\frac{7}{8}
반면 경계값 0을 제외한 사건은
P(Y>0)=P(Y=2)+P(Y=4) =\frac{3}{8}+\frac{1}{4} =\frac{5}{8}
학생은 새 분포에서도 첫 줄에 가능한 값과 사건을 따로 적고, 확률의 합과 부등호의 경계를 확인한 뒤 계산했다. 이를 통해 확률변수의 값은 숫자이고, 사건은 그 값들이 만족하는 조건이라는 관계를 구분할 수 있게 되었다.