별내동 고3수학과외에서 조건사건의 독립성을 다시 계산하는 연습
별내동의 별내고등학교와 별가람고등학교 학생들은 통학과 과제, 시험 준비를 함께 관리해야 하므로 짧은 시간 안에 조건을 정확히 읽고 풀이를 시작하는 습관이 중요하다. 별내상업지구와 아파트 생활권에서 이동한 뒤 바로 문제를 풀 때, 기억한 중간식을 먼저 쓰면 확률 문제의 표본공간이 바뀐 사실을 놓치기 쉽다.
조건이 바뀌면 독립성부터 다시 확인한다
한 학급 학생 중 수학 보충수업 참여 여부와 자습실 이용 여부를 조사한 결과가 다음과 같다고 하자.
- 보충수업 참여자: 18명
- 자습실 이용자: 20명
- 두 조건을 모두 만족한 학생: 12명
- 전체 학생: 30명
사건을 \(A=\) 보충수업에 참여한 사건, \(B=\) 자습실을 이용한 사건으로 두면
\(P(A)=\frac{18}{30},\quad P(B)=\frac{20}{30},\quad P(A\cap B)=\frac{12}{30}\)
학생은 다음과 같이 적었다.
오답: \(P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{18}{30}\cdot\frac{20}{30}=\frac{12}{30}\)
이 식은 독립이라고 가정한 뒤 실제 교집합 확률과 같다고 결론 낸 오답이다. 그러나
\[ P(A)P(B)=\frac{18}{30}\cdot\frac{20}{30}=\frac{2}{5} \]
이고, 실제 교집합 확률은 \(\frac{12}{30}=\frac{2}{5}\)이므로 이 자료에서는 두 사건이 독립이다. 학생의 계산 결과 중 마지막 등식은 우연히 맞았지만, 독립 여부를 확인하려면 처음부터 독립을 전제로 쓰지 않고 두 값을 비교해야 한다.
틀린 줄을 표시하고 조건을 보존한 풀이
먼저 답안의 ‘독립이라고 두고 계산한 줄’에 밑줄을 긋는다. 그다음 전체 학생 수가 30명인 원래 표본공간을 확인하고, 사건별 인원과 교집합 인원을 따로 적는다.
\[ P(A)P(B)=\frac{18}{30}\times\frac{20}{30}=\frac{2}{5} \]
\[ P(A\cap B)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5} \]
두 값이 같으므로 \(A\)와 \(B\)는 독립이다. 조건부확률로도
\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} =\frac{12/30}{20/30}=\frac35=P(A) \]
가 되어 같은 결론을 얻는다. 학생은 계산 뒤 실제 인원으로 \(18\times20\div30=12\)를 역계산하여 교집합 인원과 일치하는지 확인했다.
표본공간이 달라진 새 문제로 검증
이번에는 전체 40명 중 남학생 22명, 그중 수학 심화문제를 선택한 학생이 14명이다. 여학생은 18명이고, 여학생 중 심화문제를 선택한 학생은 6명이다. 사건 \(C=\) 남학생, \(D=\) 심화문제 선택으로 두자.
\[ P(C)=\frac{22}{40},\quad P(D)=\frac{14+6}{40}=\frac{20}{40} \]
\[ P(C\cap D)=\frac{14}{40} \]
따라서
\[ P(C)P(D)=\frac{22}{40}\cdot\frac{20}{40} =\frac{11}{40}\neq\frac{14}{40}=P(C\cap D) \]
두 사건은 종속이다. 표본공간과 사건별 인원이 앞 문제와 달라졌으므로 이전의 \(\frac25\)라는 중간식을 가져오면 안 된다. 학생은 표를 다시 작성하고, 교집합 확률과 곱을 각각 계산한 뒤 부등호를 확인하는 방식으로 독립성 판단을 마쳤다.