별내동고2수학과외

별내동고2수학과외: 숨은 삼각형을 찾아 사인법칙·코사인법칙으로 연결하기

별내고등학교와 별가람고등학교처럼 별내동에서 고등학교 생활을 이어 가면 통학과 과제 사이에 도형 문제의 풀이 과정을 충분히 기록하지 못하는 경우가 생긴다. 특히 복합도형에서는 선 하나가 여러 삼각형에 함께 쓰이므로, 그 선의 역할과 삼각형의 조건을 먼저 확인해야 한다.

공유변을 두 번 다른 길이로 쓴 오답

다음과 같이 대각선 AC를 공유하는 두 삼각형이 있다고 하자.

• 삼각형 ABC에서 AB=5, BC=7, ∠ABC=60°
• 삼각형 ACD에서 AD=6, ∠DAC=60°

먼저 삼각형 ABC에서 코사인법칙을 적용하면

AC²=5²+7²-2·5·7·cos60°=39

따라서 AC=√39이다. 그런데 풀이 과정에서 다음과 같이 적는 경우가 있다.

넓이 = 1/2·5·7·sin60° + 1/2·6·7·sin60°

두 번째 삼각형의 넓이에 BC=7을 다시 사용한 것이다. 하지만 삼각형 ACD에 필요한 변은 AD와 AC이며, AC는 첫 번째 삼각형의 BC와 같은 선분이 아니다. 복합도형에서 공유되는 선분은 AC 하나이고, 그 길이는 두 삼각형에서 모두 √39로 동일해야 한다.

삼각형 조건을 옆에 적고 여백을 다시 계산하기

풀이를 고칠 때는 오답 줄을 지우지 말고 그대로 남긴 뒤, 각 삼각형에 필요한 조건을 옆에 표시한다.

△ABC: AB=5, BC=7, 끼인각 ∠B=60° → AC²=39

△ACD: AD=6, AC=√39, 끼인각 ∠A=60°

그러면 전체 넓이는

[ABC]+[ACD]
=1/2·5·7·sin60°+1/2·√39·6·sin60°
=35√3/4+3√117/2

여기서 AC는 두 넓이식에 각각 등장하지만, 서로 다른 길이로 계산하지 않는다. 또한 사인법칙이나 코사인법칙을 쓰기 전에는 해당 삼각형에서 알고 있는 두 변과 끼인각이 실제로 어느 삼각형에 속하는지 확인해야 한다.

조건을 바꾼 도형에서도 공유변을 유지하는가

이번에는 조건을 다음처럼 바꾼다.

• 삼각형 ABC에서 AB=6, BC=8, ∠ABC=120°
• 삼각형 ACD에서 AD=5, ∠DAC=30°

힌트 없이 풀이한다면 먼저 어느 선분이 두 삼각형에 공통인지 표시해야 한다. 코사인법칙으로

AC²=6²+8²-2·6·8·cos120°=148

따라서 AC=√148=2√37이다. 두 삼각형의 넓이는

[ABC]=1/2·6·8·sin120°=12√3

[ACD]=1/2·(2√37)·5·sin30°=5√37/2

그러므로 전체 넓이는 12√3+5√37/2이다. 이 과정에서 AC를 BC=8로 바꾸어 쓰거나, 삼각형 ACD의 넓이에 8을 넣었다면 공유변을 다시 혼동한 것이다. 새로운 각과 계수가 주어져도 먼저 숨은 삼각형을 분리하고, 각 삼각형의 변·각 조건을 따로 적는지 확인해야 한다.