조건부 계산에서 첫 줄을 바로잡는 연습
도농동에서 남양주시 통학권의 고등학교를 오가는 고3 학생은 방과 후 이동 뒤 확보한 자습 시간에 확률 문제를 풀었다. 이 학생에게 필요한 것은 해설의 결론을 옮기는 일이 아니라, 독립 여부를 결정하는 첫 조건을 직접 확인하는 습관이었다.
확률이 0인 사건을 놓친 오답
주사위 한 개를 던져 사건을 다음과 같이 정했다.
A: 7이 나온다, B: 짝수가 나온다.
표본공간은 \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\)이므로 \(P(A)=0\), \(P(B)=\frac12\), \(A\cap B=\varnothing\)이다.
학생의 오답: \(P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac00\)이므로 조건부확률을 구할 수 없다. 따라서 A와 B는 독립이 아니다.
이 식은 오답이다. \(P(B\mid A)\)는 분모가 0이어서 정의되지 않지만, 독립의 정의는 조건부확률만으로 판단하지 않는다. \(P(A)=0\)이면 \(P(A\cap B)=0\)이고
\[ P(A\cap B)=0=P(A)P(B) \]
가 성립하므로 A와 B는 독립이다. 조건부확률의 계산 불능과 독립 여부를 같은 의미로 처리한 것이 첫 번째 오류다.
틀린 줄부터 다시 검산하기
- 틀린 줄 표시: “\(\frac00\)이므로 독립이 아니다”에 밑줄을 긋는다.
- 조건 확인: \(P(A)=0\)인지, \(A\cap B\)가 실제로 공집합인지 확인한다.
- 식 수정: \(P(A\cap B)=0\), \(P(A)P(B)=0\cdot\frac12=0\)으로 독립 정의를 적용한다.
- 검산: A가 일어날 수 없으므로 A와 동시에 B가 일어날 수도 없다. 양변이 모두 0인지 다시 대입한다.
이후에는 후보값이나 사건을 만날 때마다 첫 줄에 확률과 교집합을 적고, 해설의 결론은 마지막 확인 뒤에만 참고하도록 했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 주사위가 아니라 \(1\)부터 \(8\)까지 적힌 공정한 공을 하나 뽑는다.
C: 2의 배수, D: 4보다 큰 수.
\[ P(C)=\frac48=\frac12,\quad P(D)=\frac48=\frac12,\quad P(C\cap D)=\frac28=\frac14 \]
따라서 \(P(C\cap D)=P(C)P(D)\)이므로 C와 D는 독립이다. 반대로 D를 “홀수”로 바꾸면 \(P(C\cap D)=0\)이고 \(P(C)P(D)=\frac14\)이므로 서로 종속이다. 학생은 바뀐 사건의 범위와 교집합을 첫 줄부터 다시 확인해 독립과 종속의 전환을 검증했다.