도농동고1수학과외: 좌표 조건을 도형과 식으로 오가는 연습
도농동에서 통학 후 확보한 짧은 자습 시간에는 좌표 문제의 계산량보다 조건을 읽는 순서를 점검할 필요가 있다. 특히 좌표에 제시된 조건을 곧바로 계산식으로 옮기면, 그 식이 평면에서 어떤 점들의 모임을 뜻하는지 놓치기 쉽다.
식 xy=12를 점들의 위치로 해석하기
예를 들어 점 P(x,y)가 제1사분면에 있고 xy=12를 만족한다고 하자. 이 조건은 단순한 곱셈식이 아니라, 좌표평면에서 두 좌표의 곱이 일정한 점들의 모임을 뜻한다. y=12/x로 바꾸면 제1사분면에 놓인 쌍곡선의 일부가 된다.
반대로 좌표평면에서 y=12/x 위의 점을 골랐다면 양변에 x를 곱해 xy=12를 얻는다. 단, x≠0이어야 하므로 분모가 생기는 순간 이 조건도 함께 확인해야 한다. 기하적 의미와 대수식을 양방향으로 바꾸는 과정이 좌표조건의 핵심이다.
다음 줄로 넘어가며 사라진 조건
학교 프린트의 문제에서 점 A(a, b)와 점 B(3, 4)가 같은 곡선 xy=12 위에 있다고 하자. 학생은 답안에 조건을 표시하지 않고 곧바로
ab=3×4=12
라고 적은 뒤 다음 계산으로 넘어갔다. 이 식 자체는 맞지만, 점 A가 왜 곡선 위에 있는지와 a,b가 어떤 좌표인지 드러나지 않는다. 좌표조건을 기하적 문장과 대수식으로 왕복한 흔적이 빠져 있어, 조건이 바뀌었을 때 같은 계산을 적용할 근거가 약한 상태다.
빠진 줄부터 다시 세우는 방법
오답표에서 계산이 시작된 지점을 표시한 뒤 그 바로 앞에 다음 두 줄을 넣는다.
- 점 A(a,b)는 xy=12 위에 있으므로 좌표를 대입하면 ab=12이다.
- 점 B(3,4)도 3×4=12이므로 같은 조건을 만족한다.
이제 식만 보는 것이 아니라 두 점이 같은 좌표조건을 만족한다는 기하적 의미까지 확인된다. 만약 A가 제1사분면이라는 조건도 있다면 a>0, b>0을 함께 적어야 한다. 예를 들어 ab=12만으로는 (-2,-6)도 가능하지만, 제1사분면 조건이 있으면 이 점은 제외된다.
새 문제에서 조건을 되돌려 확인하기
같은 문제를 다시 쓰는 대신, 처음 보는 문제에서 다음을 확인한다.
제1사분면의 정수 좌표를 갖고 xy=18을 만족하는 점을 모두 구하여라.
먼저 조건의 기하적 의미를 ‘제1사분면에서 두 좌표의 곱이 18인 점’이라고 적는다. 그다음 양의 정수 인수쌍을 찾는다.
18=1×18=2×9=3×6이므로 점은 (1,18), (2,9), (3,6), (6,3), (9,2), (18,1)이다. 각 좌표쌍을 역으로 곱해 모두 18이 되는지 확인하면 빠진 소인수나 지수가 있는지 스스로 발견할 수 있다. 예를 들어 2×9=2×3²=18, 3×6=3×2×3=2×3²=18이다.
이 검증에서는 답의 개수만 세지 않고, 식을 좌표조건으로 바꾸고 다시 좌표쌍을 식으로 되돌리는 과정, 그리고 인수분해 결과를 역으로 곱하는 근거와 결론까지 확인한다.