다산동 고3 수학과외: 확률의 곱셈보다 먼저 확인할 관계
다산동의 남양주다산고등학교, 동화고등학교, 도농고등학교와 통학 생활권 학생들은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 학습 시간을 조정해야 한다. 이 학생은 귀가 후 확률 문제를 풀면서도 사건의 관계를 확인하지 않고 공식을 적용하는 습관이 반복되었다.
두 사건을 무조건 곱한 풀이
1부터 5까지 적힌 공이 하나씩 들어 있는 상자에서 공 하나를 뽑는다. 사건을 다음과 같이 정한다.
- A: 짝수인 공을 뽑는 사건
- B: 3보다 큰 공을 뽑는 사건
학생은 답안 여백에 다음과 같이 적었다.
P(A)=2/5, P(B)=2/5이므로 P(A∩B)=P(A)P(B)=4/25
이 식은 틀렸다. P(A∩B)=P(A)P(B)는 두 사건이 독립일 때만 사용할 수 있는데, 학생은 독립 여부를 확인하지 않았다. 실제로 A={2, 4}, B={4, 5}이므로 A∩B={4}이다. 따라서
P(A∩B)=1/5
이다. 또한
P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=(1/5)/(2/5)=1/2
인데, P(B)=2/5와 다르다. 조건 A가 주어졌을 때 B의 확률이 변하므로 두 사건은 독립이 아니다. 곱셈식으로 확인해도 1/5≠4/25이므로 독립이 아님을 알 수 있다.
틀린 항만 표시해 고친 과정
학생은 오답 줄에서 “독립 여부 확인 없이 P(A∩B)=P(A)P(B)를 사용한 부분”을 표시했다. 그다음 각 사건의 원소와 교집합을 먼저 적었다.
- A={2, 4}, B={4, 5}
- A∩B={4}
- P(A∩B)=1/5
- P(A)P(B)=2/5×2/5=4/25
두 값이 다르므로 독립이라는 가정을 삭제하고, 조건부확률 관계인 P(A∩B)=P(A)P(B|A)를 사용했다. 실제로 2/5×1/2=1/5가 되어 교집합 확률과 일치한다. 학생은 마지막으로 가능한 교집합 원소가 4 하나뿐인지 다시 세어 식과 경우의 수를 역검산했다.
조건을 바꾼 독립성 검증
이번에는 주사위를 두 번 던진다. 사건을 다음처럼 바꾼다.
- C: 첫 번째 눈이 짝수인 사건
- D: 두 번째 눈이 4보다 큰 사건
첫 번째와 두 번째 던지기는 서로 영향을 주지 않으므로
P(C)=3/6=1/2, P(D)=2/6=1/3
이고, 전체 경우의 수 36개 중 첫 번째 눈이 짝수이고 두 번째 눈이 5 또는 6인 경우는 3×2=6개이다. 따라서
P(C∩D)=6/36=1/6
이다. 한편
P(C)P(D)=1/2×1/3=1/6
로 같으므로 이번 두 사건은 독립이다. 학생은 새로운 문제에서도 곧바로 곱하지 않고, 먼저 사건의 조건이 같은 시행에 걸리는지와 조건부확률이 변하는지를 확인한 뒤 독립 여부를 결론내렸다.