다산동 고2수학과외, 숨은 삼각형의 변·각 대응부터 확인하기
도형 문제에서 대각선이 보이지 않는다고 해서 사인법칙이나 코사인법칙을 바로 적용할 수 있는 것은 아니다. 먼저 실제로 삼각형이 만들어지는지, 그리고 각과 마주 보는 변의 대응이 맞는지를 확인해야 한다. 다산동의 남양주다산고등학교, 동화고등학교, 도농고등학교처럼 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 다를 때도 복합도형 문제는 풀이 과정을 남기는 연습이 특히 중요하다.
공유변 AC를 두 번 계산하면 도형이 달라진다
다음과 같은 사각형 ABCD에서 대각선 AC가 그어져 있다고 하자.
- AB=5, BC=7, ∠ABC=60°
- AD=4, CD=6
먼저 삼각형 ABC에서 코사인법칙을 적용하면, 각 ABC의 맞은편 변은 AC이다.
AC²=AB²+BC²−2·AB·BC·cos60°
=25+49−2·5·7·1/2=39
따라서 AC=√39이다.
그런데 풀이 과정에서 공유변 AC를 삼각형 ABC에서는 √39로 계산해 놓고, 삼각형 ACD에서는 AC=5라고 두어 식을 세운다면 두 삼각형이 같은 도형 안에 있다는 조건이 사라진다. AC는 두 삼각형이 함께 사용하는 하나의 선분이므로 어느 삼각형에서 계산하더라도 길이는 반드시 √39로 같아야 한다.
기호의 뜻을 말한 뒤 식을 한 줄만 고친다
답안에 다음 문장을 먼저 적는다.
AC는 △ABC와 △ACD가 공통으로 사용하는 선분이므로 AC=√39이다.
이제 삼각형 ACD에서 각 ADC를 구하면, ∠ADC의 맞은편 변이 AC이므로
cos∠ADC=(AD²+CD²−AC²)/(2·AD·CD)
=(16+36−39)/(2·4·6)=13/48
따라서 cos∠ADC=13/48이다. 0<13/48<1이므로 이 삼각형의 해당 각은 실제로 성립할 수 있다. 변의 대응을 표시하지 않은 채 공식만 외워 대입했다면, AC를 다른 값으로 바꾸거나 각의 맞은편 변을 잘못 선택하기 쉽다.
새 길이에서 삼각형의 성립 범위를 걸러내기
이번에는 삼각형 XYZ에서 XY=3, YZ=4, ∠XYZ=60°이고, 다른 두 변이 XZ=8, XY=3이라고 제시되었다고 하자. 두 조건이 동시에 맞는지 먼저 확인해야 한다.
앞의 두 변과 끼인각으로 계산한 XZ는
XZ²=3²+4²−2·3·4·cos60°=9+16−12=13
즉 XZ=√13이다. 따라서 같은 삼각형에서 XZ를 8이라고 두는 것은 불가능하다. 길이 8을 그대로 사용해 사인법칙이나 코사인법칙을 진행하지 않고, 공유변의 정의와 계산 결과가 충돌한다는 사실을 마지막에 제거해야 한다.
풀이를 마친 뒤에는 ① 각의 맞은편 변을 표시했는지, ② 공유변의 값이 모든 삼각형에서 같은지, ③ 계산된 코사인값이 −1≤cosθ≤1 범위에 있는지 확인한다. 이 세 가지를 새로운 복합도형에서도 스스로 적었다면 숨은 삼각형의 적용 조건을 실제 풀이에 연결한 것이다.