조건을 먼저 읽고 곱셈법을 선택하는 확률 풀이
금곡동의 금곡고등학교 학생은 학교별 내신 운영과 주간 일정에 따라 자습 시간이 달라질 수 있어, 짧은 문제라도 풀이 근거를 먼저 적는 연습이 필요했다. 같은 남양주시의 동화고등학교·진접고등학교·심석고등학교·오남고등학교는 참고 학교일 뿐 금곡동 소재 학교로 보지 않았다.
독립인지 확인하지 않아 생긴 오답
상자에 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 들어 있다. 공을 한 개 꺼내 확인한 뒤 되돌려 놓지 않고 두 번째 공을 꺼낼 때, 첫 번째 공이 빨강이고 두 번째 공도 빨강일 확률을 구하는 문제를 풀었다.
학생은 다음과 같이 적었다.
오답: P(A∩B)=P(A)P(B)=3/5×3/5=9/25
이 식은 틀렸다. 첫 번째 공을 되돌려 놓지 않으므로 두 번째 공이 빨강일 확률은 첫 번째 결과에 따라 달라진다. 따라서 두 사건은 독립이 아니며, 일반 곱셈정리를 사용해야 한다.
사건을 A=첫 번째 공이 빨강, B=두 번째 공이 빨강으로 두면
P(A∩B)=P(A)P(B|A)=3/5×2/4=3/10
이다. 학생이 적은 9/25는 복원추출처럼 두 번째 확률을 계속 3/5로 둔 데서 생긴 값이다.
화살표와 표로 조건을 다시 세우기
풀이가 막히면 해설을 찾기 전에 표본공간과 조건의 변화를 적도록 했다.
- 처음: 빨강 3개, 파랑 2개
- A가 일어남: 빨강 2개, 파랑 2개
- 따라서 P(B|A)=2/4
- A에서 B로 이어지는 화살표: 첫 번째 빨강 → 두 번째 빨강
이어 두 번째 빨강까지 일어난 경우의 순서를 직접 세어 3×2=6가지, 전체 순서가 5×4=20가지임을 확인했다. 그러므로 6/20=3/10으로 식과 경우의 수가 같은 결과를 주는지 검산했다.
해가 없는 조건은 곱셈 전에 걸러내기
한편 같은 상자에서 첫 번째 공을 빨강으로 뽑고, 두 번째 공을 파랑으로 뽑는 사건을 C라 하자. “첫 번째와 두 번째 공이 모두 빨강이면서 동시에 두 번째 공이 파랑”인 사건은 서로 양립할 수 없다.
이 경우에는 곱셈정리를 억지로 적용하지 않고
P(A∩B∩C)=0
으로 판단한다. 조건 사이에 모순이 있는지 먼저 확인하는 것이 해설을 찾는 것보다 우선이다.
조건을 바꾼 독립성 검증
이번에는 공을 꺼낸 뒤 다시 넣고 섞는 복원추출로 조건을 바꾸었다. 빨강이 나오는 사건을 각각 A, B라 하면 두 번째 추출 결과는 첫 번째 결과의 영향을 받지 않는다.
따라서
P(A∩B)=P(A)P(B)=3/5×3/5=9/25
가 된다. 학생은 원래 문제의 3/10과 변형 문제의 9/25를 비교해, 복원 여부가 조건부확률과 곱셈정리의 선택을 바꾼다는 점을 독립적으로 확인했다.