금곡동고2수학과외: 끼인각을 확인해야 삼각형 넓이가 맞는다
금곡고등학교의 학교 프린트와 지필평가를 함께 정리할 때, 사인법칙·코사인법칙을 알고도 넓이에서 막히는 장면이 있었다. 학생은 변의 길이와 각을 보자마자 계산을 시작했지만, 어떤 두 변 사이의 각인지 확인하지 않았다.
각도보다 먼저 확인할 것은 두 변의 위치
삼각형 ABC에서 AB=7, AC=5, ∠A=120°일 때 ∠A는 AB와 AC가 만나는 끼인각이다. 따라서 넓이는
[ABC] = 1/2 × AB × AC × sin∠A
= 1/2 × 7 × 5 × sin120° = 35√3/4
그런데 학생의 오답표에는 1/2 × 7 × 5 × sin∠B가 적혀 있었다. ∠B는 AB와 BC 사이의 각이므로 AB와 AC의 끼인각이 아니다. 주어진 각이 ∠A라는 이유만으로 다른 두 변과 묶어 사용할 수 없으며, ∠B의 값도 주어지지 않았기 때문에 이 식으로는 넓이를 결정할 수 없다.
코사인법칙은 삼각형 조건을 확인하는 데 사용한다
계산 전에 주어진 세 요소가 실제 삼각형의 변과 각으로 연결되는지도 표시했다. 같은 문제에서 BC를 구하면
BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos∠A
= 7² + 5² - 2·7·5·cos120° = 49+25+35=109
따라서 BC=√109이고, 주어진 두 변 AB, AC와 그 사이의 각 ∠A가 삼각형을 이루는 조건도 확인된다. 코사인법칙의 결과를 넓이 공식에 바로 넣는 것이 아니라, 넓이에서는 여전히 두 변과 그 사이의 각을 찾아야 한다.
계산 줄 앞에 네모 세 칸을 남긴다
이후 풀이에서는 다음 확인을 계산식 위에 먼저 적게 했다.
□ 두 변의 길이가 표시되었는가?
□ 그 두 변이 만나는 꼭짓점의 각인가?
□ 각의 부호와 값에 맞는 삼각함수를 사용했는가?
위 문제에서는 AB=7, AC=5, 두 변의 만나는 점이 A이므로 ∠A=120°를 선택한다. sin120°=√3/2까지 확인한 뒤에야 35√3/4를 적는다. 이 과정을 거치면 넓이 공식 자체를 모르는 것이 아니라, 공식에 들어갈 변과 각의 관계를 먼저 판단해야 한다는 점이 풀이에 드러난다.
표현 순서를 바꾼 식으로 다시 확인하기
금곡산업단지와 금곡리삼금아파트 생활권에서 학교 일정이 다른 만큼, 주간 복습에서는 같은 식을 반복하기보다 표현을 바꾸어 확인했다. 다음 식이 삼각형 ABC의 넓이를 나타내는지 판단해 보자.
7·sin120°·5/2
곱셈 순서만 바뀌었으므로 1/2 × 7 × 5 × sin120°와 같은 식이다. 네모 칸을 다시 채우면 두 변은 7과 5, 끼인각은 120°이며, 값은
7·(√3/2)·5/2 = 35√3/4
로 확인된다. 숫자의 위치와 곱셈 순서가 달라져도 변의 양 끝점과 각의 꼭짓점을 대조해 같은 구조를 찾아내는지가 마지막 확인 지점이다.