김포 고3 수학과외에서 확인한 여사건 조건 해석
김포제일고등학교, 김포호수고등학교, 풍무고등학교 등 김포 지역 고3 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 풀이 기록을 관리할 필요가 있다. 이 학생은 개념을 몰라서가 아니라 여사건을 적용해야 하는 순간에 사건의 범위를 반대로 읽는 오류가 나타났다.
맞는 중간식까지 지워 버린 오답
상자에 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 들어 있다. 공을 한 개씩 두 번 복원 없이 뽑을 때, 적어도 한 개가 빨간 공일 확률을 구하는 문제를 풀며 다음과 같이 적었다.
적어도 한 개가 빨간 공일 확률 = 두 번 모두 파란 공일 확률
= \(\frac25\cdot\frac14=\frac15\)
이 식은 오답이다. ‘적어도 한 개가 빨간 공’의 여사건은 ‘두 번 모두 파란 공’이므로, 계산한 \(\frac15\)는 구하려는 확률이 아니라 여사건의 확률이다. 따라서 마지막에 \(1-\)을 적용해야 한다.
정확한 관계는 다음과 같다.
\(P(\text{적어도 한 개 빨강})=1-P(\text{두 번 모두 파랑})\)
\(=1-\frac25\cdot\frac14=1-\frac15=\frac45\)
학생은 답안을 정리하면서 맞는 중간식까지 전부 지우고 \(\frac45\)만 남겼다. 이 방식은 부호 오류인지, 사건 범위 오류인지 확인하기 어렵게 만든다.
오류 지점만 표시하는 수정 과정
- 틀린 줄 표시: ‘적어도 한 개 빨강 = 두 번 모두 파랑’이라고 등호를 연결한 부분에 밑줄을 긋는다.
- 조건과 변수 관계 확인: 적어도 한 개 빨강의 반대는 두 번 모두 파랑이며, 두 사건은 서로 여사건이다.
- 식 수정: \(P(A)=1-P(A^c)\)에 따라 \(P(A)=1-\frac25\cdot\frac14\)로 바꾼다.
- 검산: 빨간 공이 나올 수 있는 경우를 직접 합산한다. \(RR: \frac35\cdot\frac24=\frac3{10}\), \(RB: \frac35\cdot\frac34=\frac9{20}\), \(BR: \frac25\cdot\frac34=\frac3{10}\)이다. 합은 \(\frac3{10}+\frac9{20}+\frac3{10}=\frac{20}{20}=\frac45\)이다.
또한 \(P(\text{적어도 한 개 빨강})+P(\text{두 번 모두 파랑})=\frac45+\frac15=1\)이므로 여사건 관계도 확인된다. 이후에는 좌우 칸에 ‘구하는 사건’과 ‘여사건’을 나란히 적어 조건을 반대로 해석하지 않도록 했다.
독립 시행으로 조건을 바꾼 검증
이번에는 빨간 공이 나올 확률이 매 시행마다 \(\frac25\)이고, 공을 복원하여 두 번 뽑는다고 하자. 두 시행은 독립이므로 ‘적어도 한 번 빨간 공’의 여사건은 두 번 모두 파란 공이다.
\(P(\text{두 번 모두 파랑})=\frac35\cdot\frac35=\frac9{25}\)
\(P(\text{적어도 한 번 빨강})=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}\)
복원 없이 뽑을 때의 \(\frac45\)를 그대로 사용하지 않고, 독립 시행이라는 새 조건에 맞춰 곱셈식을 다시 세웠다. 마지막으로 \(\frac{16}{25}+\frac9{25}=1\)을 확인해 여사건 조건과 계산을 함께 검증했다.