김포 고2수학과외: 두 변과 끼인각에서 코사인법칙을 고르는 순간
“변의 길이 3, 5와 그 사이의 각이 60°일 때 나머지 한 변의 길이를 구하여라.”
이 문제의 풀이에서 학생은 그림에 표시된 두 변과 끼인각을 확인하고도 다음과 같이 시작했다.
sin 60° / 3 = sin A / 5
계산 자체를 이어 가기 전에 이미 공식 선택에서 어긋난 것이다. 사인법칙은 한 변과 그 마주 보는 각의 쌍이 주어져야 사용할 수 있다. 이 문제에는 두 변과 그 사이의 각만 제시되었으므로, 세 번째 변을 구할 때는 코사인법칙을 적용해야 한다.
두 변과 그 사이의 각이면 왜 코사인법칙인가
구하려는 변을 c라 하면, 주어진 두 변이 3, 5이고 끼인각이 60°이므로
c² = 3² + 5² - 2·3·5·cos 60°
= 9 + 25 - 30·1/2 = 19
따라서 c = √19이다. 길이는 양수이므로 -√19는 답으로 선택하지 않는다.
계산 줄에서 학생이 처음 적은 sin 60° / 3 = sin A / 5에 표시를 하고, 그 바로 아래에
두 변과 끼인각 → c² = a² + b² - 2ab cos C
를 다시 쓴다. 이때 단순히 공식을 외워 적는 것이 아니라, 주어진 각이 두 변 사이에 있는지 그림에서 확인해야 한다. 60°가 3과 5의 사이에 있으므로 코사인법칙의 -2ab cos C 항이 결정된다.
사인법칙을 쓸 수 있는 경우와 비교하기
사인법칙은 다음처럼 서로 마주 보는 변과 각의 쌍이 있을 때 출발할 수 있다.
a / sin A = b / sin B
그러나 앞의 문제에는 3 또는 5와 마주 보는 각이 주어지지 않았다. 따라서 사인법칙으로 시작하려면 알 수 없는 각을 새로 두어야 하고, 그 각에 대응하는 다른 정보도 필요하다. 주어진 정보만으로 바로 길이를 구하는 공식은 코사인법칙이다.
김포의 고등학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 달라도, 풀이 기록에서는 공식 이름보다 “어떤 정보가 주어졌는가”를 먼저 표시하게 해야 한다. 특히 평일 귀가 시간이 다른 걸포동·장기동·구래동 생활권 학생이라면 긴 풀이를 반복하기보다 첫 줄의 조건 판별과 첫 중간식을 남기는 방식으로 점검할 수 있다.
숫자를 바꾼 뒤에도 조건부터 읽는가
다음 문제에서는 두 변의 길이를 크게 바꾸고 끼인각을 120°로 바꾼다.
두 변이 8, 15이고 그 사이의 각이 120°일 때 세 번째 변을 d라 하면
d² = 8² + 15² - 2·8·15·cos 120°
= 64 + 225 - 240·(-1/2) = 409
그러므로 d = √409이다.
여기서 확인할 것은 큰 수의 계산보다 첫 식이다. 두 변과 끼인각이 다시 주어졌으므로 사인법칙으로 바꾸지 않고 코사인법칙을 선택해야 한다. 또한 cos 120° = -1/2이므로 -240·(-1/2)가 되어 더해진다. 학생이 첫 줄에 사인법칙을 적지 않고, 주어진 두 변과 끼인각에 표시한 뒤 코사인법칙의 중간식을 스스로 남겼다면 공식 선택이 새로운 조건에서도 유지된 것으로 확인할 수 있다.