풍무동중2수학과외, 평행선 선분비 서술형에서 도형 조건을 근거로 쓰는 연습
평행선이 만든 선분의 길이를 구하는 문제는 비례식만 맞히면 끝나는 유형처럼 보인다. 하지만 중2 서술형에서는 계산 결과보다 왜 그 비례식을 사용할 수 있는지를 확인한다. 식은 맞는데 ‘삼각형 안에서 한 선분이 다른 두 변과 어떻게 만나는지’, ‘어떤 성질을 적용했는지’를 쓰지 않으면 풀이가 완성되지 않는다.
풍무동에서 중학교 수학을 지도할 때도 이 부분은 학교 프린트와 문제집을 번갈아 풀면서 차이가 드러난다. 양도중학교와 풍무중학교가 풍무동 안에 있고, 감정중학교·고창중학교·고촌중학교는 같은 김포시의 참고 학교로 볼 수 있다. 학교별 출제 난도나 경향을 단정하기보다는, 방과후 이동 뒤 확보된 자습시간에 학생이 자신의 풀이에서 조건과 성질을 빠뜨리지 않았는지 점검하는 방식이 현실적이다.
계산식보다 먼저 확인할 도형의 관계
예를 들어 삼각형 ABC에서 점 D는 변 AB 위에 있고, 점 E는 변 AC 위에 있으며, DE가 BC와 평행하다고 하자. AD=4, DB=2, AE=6일 때 EC를 구하는 문제라면 다음과 같이 대응시킬 수 있다.
AD와 DB는 변 AB를 나누는 두 선분이고, AE와 EC는 변 AC를 나누는 두 선분이다. 평행선 DE가 두 변을 가로지르므로 대응되는 선분의 비가 같다.
AD:DB=AE:EC
4:2=6:EC
4EC=12이므로 EC=3이다.
여기서 서술형 답안에는 ‘DE∥BC이므로 평행선이 두 변을 자를 때 생기는 선분의 비는 같다. 따라서 AD:DB=AE:EC이다. 그러므로 EC=3이다.’와 같은 흐름이 필요하다. 숫자만 대입한 식은 계산 과정은 보여 주지만 사용한 성질과 도형 조건을 설명하지 못한다.
풍무동 학생에게서 관찰되는 실제 막힘
이 유형을 틀린 학생은 공식을 전혀 모르는 모습과 다르다. 문제에 4, 2, 6이 보이면 4:6=2:x처럼 가까이 붙은 숫자를 연결한다. 또는 AD와 AE를 대응시키고 DB와 EC를 대응시켜야 하는데, 그림에서 아래쪽에 놓인 숫자끼리 묶는다.
시험 후에는 답이 3이 아닌 이유를 ‘계산 실수’라고 적기도 한다. 그러나 4:6=2:x에서 x=3이 나오는 것처럼 결과가 우연히 맞을 때도 있어, 학생은 자신이 대응을 잘못했다는 사실을 알아차리지 못한다. 학교 프린트에서는 그림에 직접 기호가 표시되어 있어 풀다가, 표시가 적은 문제집으로 넘어가면 “어디서 막혔는지 모르겠다”고 말한다.
또 다른 장면은 답안에 ‘비례식으로 계산하면’이라고만 쓰고 바로 식을 적는 것이다. DE∥BC라는 조건, 두 변을 나누는 선분이라는 관계, 사용한 평행선의 선분비 성질이 모두 빠진다. 현재 중2에서는 일차함수와 연립방정식처럼 식을 세워 값을 구하는 경험이 늘면서, 도형에서도 식만 만들면 된다고 생각하기 쉽다. 이때 필요한 것은 도형 전체를 다시 공부하는 일이 아니라, 평행 여부와 선분의 위치를 식보다 먼저 확인하는 짧은 절차다.
답안의 빈칸을 세 칸으로 나누기
풀이를 시작할 때 노트를 ‘도형 조건’, ‘사용한 성질’, ‘결론’ 세 칸으로 나눈다. 첫 칸에는 DE∥BC, D는 AB 위, E는 AC 위처럼 그림에서 확인되는 조건을 적는다. 둘째 칸에는 평행선이 두 변을 자르므로 대응하는 선분의 비가 같다고 쓴다. 셋째 칸에는 비례식과 계산 결과를 적는다.
대응 위치를 찾을 때는 숫자를 보지 않고 문자를 먼저 읽는다. AB 쪽은 A-D-B 순서, AC 쪽은 A-E-C 순서라고 소리 내어 확인한다. 그러면 AD에 대응하는 선분은 AE, DB에 대응하는 선분은 EC가 된다. 그림이 기울어져 있거나 선분의 길이 표시가 안쪽에 몰려 있어도 문자 순서가 기준이 된다.
비례식을 세운 뒤에는 화살표를 남긴다. AD→AE, DB→EC처럼 같은 위치의 선분을 연결하고, 식을 쓴 다음 양쪽 비가 같은 방향인지 확인한다. AD:DB=AE:EC로 시작했다면 한쪽만 뒤집어 AD:DB=EC:AE로 쓰지 않는다. 뒤집고 싶다면 두 비를 모두 같은 방식으로 바꾸어야 한다.
도형 조건을 먼저 썼는가? 같은 위치의 선분끼리 대응시켰는가? 비례식 뒤에 계산과 결론을 적었는가?
숫자가 아닌 구조를 바꾼 문제로 확인하기
연습에서 같은 숫자와 같은 그림을 다시 풀게 하지 않는다. 먼저 삼각형의 방향을 바꾸고, D와 E의 위치를 위쪽에 표시한 문제를 제시한다. 예를 들어 AD=3, DB=5, AE=6, DE∥BC일 때 EC를 구하게 한다. 대응 관계를 유지하면 3:5=6:EC이므로 3EC=30, EC=10이다. 이때 학생이 3과 6을 가까운 숫자라고 연결하는지, 아니면 A에서 시작하는 선분끼리 대응하는지 확인한다.
다음에는 숫자를 모두 주지 않고 ‘AD:DB=2:3, AE=8’처럼 비로 제시한다. EC를 x라 두고 2:3=8:x를 세우는지 본다. 마지막으로 계산만 요구하지 않고 서술형으로 “DE∥BC인 이유와 사용한 성질을 포함하여 풀이하시오”라고 제시한다. 정답 12만 적는지, 조건과 성질을 답안에 남기는지까지 기록한다.
불필요한 숫자가 들어간 문장제도 활용한다. 삼각형의 색칠한 넓이, 선분의 중점 여부처럼 현재 길이비 계산에 쓰이지 않는 정보를 포함하되, 임의로 필요한 조건을 만들어 내지 않게 한다. 평행선 표시가 없으면 선분비 성질을 바로 적용하지 않고, 문제에 주어진 조건을 다시 읽도록 한다. 도형의 모양이 비슷하다는 이유만으로 평행하다고 판단해서는 안 된다.
과외에서 남겨야 할 학습 기록
한 문제의 정답보다 ‘대응 표시를 했는가’, ‘성질을 문장으로 썼는가’, ‘결론에 단위를 붙였는가’를 체크한다. 학생이 맞힌 문제도 90초 안에 조건·성질·식·결론을 모두 적었는지 확인한다. 맞혔지만 대응 화살표를 생략했다면 다음 문제에서 그림 방향과 숫자를 바꾸어 다시 점검한다.
풍무동에서 방과후 이동 시간이 일정하지 않은 학생은 긴 강의식 복습보다 통학 후 20분 동안 프린트 한 문제를 골라 세 칸 답안을 완성하는 방식이 적합할 수 있다. 이후 문제집의 다른 그림에서 같은 성질을 독립 적용하고, 틀렸을 때는 개념 오류인지 대응 오류인지 서술형 근거 누락인지 구분해 기록한다. 시험이 끝난 뒤 공부법 전체를 바꾸기보다, 실제로 반복된 오류 한 가지를 다음 풀이 절차에 반영하는 것이 효과적이다.
자주 묻는 질문
평행선이 있으면 항상 가까운 선분끼리 비를 세우면 되나요?
아니다. 같은 변 위에서 같은 위치에 있는 선분끼리 대응해야 한다. A-D-B와 A-E-C의 순서를 먼저 확인한다.
계산식이 맞으면 성질을 쓰지 않아도 되나요?
서술형에서는 부족할 수 있다. 평행선 조건과 적용한 선분비 성질을 문장으로 쓰고, 그 결과로 비례식을 세운 흐름을 남겨야 한다.
그림에서 평행해 보이면 성질을 사용해도 되나요?
안 된다. 문제에 평행 표시나 평행하다는 조건이 있어야 한다. 모양만 보고 조건을 추가하지 않는다.