풍무동중1수학과외, 히스토그램의 막대보다 계급과 단위를 먼저 읽는 자료 비교 연습
“막대가 가장 높은 구간이 제일 많으니까 이 반의 점수가 더 좋다.” 한 중1 학생이 히스토그램을 보고 이렇게 답했다. 그러나 두 그래프의 계급 구간이 서로 다르고, 한쪽은 도수이고 다른 쪽은 상대도수라면 막대 높이만 비교해서는 자료의 의미를 결정할 수 없다. 풍무동중1수학과외에서는 자료 비교 문제를 풀 때 문제집의 권수보다 학교 프린트와 수행평가 자료를 도움 없이 해석하는지를 우선 확인한다.
통학 뒤 남은 시간이 짧을수록 ‘한꺼번에 처리하기’가 자료 해석을 흐린다
풍무동에서 양도중학교나 풍무중학교 수업을 마친 뒤 이동하고, 방과후 일정까지 끝내면 자습 시간이 매일 같지 않을 수 있다. 이때 주말에 밀린 문제를 여러 권 한꺼번에 풀면 학생은 풀이 과정을 확인하기보다 답만 빠르게 맞추려 한다. 특히 자료 해석 단원에서는 표의 제목, 조사 대상, 단위, 계급 구간을 읽지 않고 막대 높이부터 비교하는 행동이 나타난다.
같은 김포시의 감정중학교, 고창중학교, 고촌중학교는 참고 가능한 학교이지만 풍무동 소재 학교와 구분해야 한다. 학교별 출제 경향을 단정하기보다, 현재 학생이 실제 학교자료를 독립적으로 읽고 설명하는지를 기준으로 학습 상태를 판단하는 편이 정확하다.
막대 높이를 먼저 보면 자료의 기준이 사라진다
예를 들어 다음과 같은 도수분포표가 있다고 하자.
수학 점수 40점 이상 50점 미만의 도수는 3명, 50점 이상 60점 미만은 7명, 60점 이상 70점 미만은 10명, 70점 이상 80점 미만은 6명이다. 학생에게 “60점 이상인 학생은 몇 명인가?”라고 물으면 10명이라고 답하는 경우가 있다. 하지만 60점 이상은 60 이상 70 미만, 70 이상 80 미만을 모두 포함하므로 10+6=16명이다.
히스토그램에서도 같은 실수가 반복된다. 막대 하나의 높이를 읽는 문제와 특정 점수 이상인 전체 학생 수를 묻는 문제를 구분하지 못하는 것이다. 또 “가장 많은 계급”을 묻는 문제에서는 도수가 가장 큰 막대를 찾으면 되지만, “70점 이상인 비율”을 묻는 문제에서는 해당 구간의 도수를 전체 도수로 나누어야 한다.
학생은 틀린 답 옆에 ‘계산 실수’라고 적었지만 실제 원인은 계산이 아니었다. 계급의 포함 범위와 질문의 기준을 확인하지 않은 채 숫자를 골랐기 때문이다. 자료 해석의 오답 원인은 숫자 계산, 계급 읽기, 단위 확인, 전체와 부분의 구분으로 나누어 기록해야 한다.
문제지에 남기는 흔적을 일정하게 만든다
먼저 표나 그래프의 제목을 한 줄로 읽는다. 제목이 ‘한 학급 학생들의 수학 점수’인지, ‘일주일 동안 도서관을 이용한 횟수’인지 확인해야 자료의 대상을 바꾸어 해석하지 않는다. 다음으로 세로축의 단위와 가로축의 계급 구간을 표시한다. ‘명’인지 ‘회’인지, 10 이상 20 미만인지 10 초과 20 이하인지 직접 동그라미 친다.
- 질문에서 요구하는 기준에 밑줄을 긋는다.
- ‘이상’, ‘미만’, ‘초과’, ‘이하’를 계급표 옆에 다시 쓴다.
- 한 구간만 필요한지 여러 구간을 합쳐야 하는지 표시한다.
- 비율을 구할 때는 전체 도수의 합을 먼저 계산한다.
- 답을 쓴 뒤 단위를 붙이고, 질문 문장에 맞춰 한 문장으로 해석한다.
예를 들어 전체 학생 수가 26명이고 70점 이상 학생이 6명이라면 상대도수는 6/26이다. 이를 백분율로 나타내면 약 23.1%이다. 학생이 6명이라고만 답했다면 숫자 자체가 틀린 것은 아니지만, 질문이 상대도수를 요구했다면 기준을 바꾸어 답한 것이다.
자료를 읽고 말로 바꾸는 훈련
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 처음에는 히스토그램을 보고 가장 높은 막대만 가리켰다. 이후 표의 제목과 단위에 네모를 치고, 질문의 조건에는 밑줄을 그었다. “60점 이상인 학생 수”라는 질문에는 해당 계급 두 개를 화살표로 연결한 뒤 도수를 더했다. “가장 많은 구간의 점수 범위”에는 합계가 아니라 도수가 가장 큰 계급의 양 끝값을 답으로 적었다.
마지막에는 “60점 이상인 학생은 전체 26명 중 16명이다”처럼 수량과 기준을 함께 말하게 했다. 이 한 문장이 있어야 답이 표의 어느 부분에서 나온 것인지 확인할 수 있다. 자료 해석에서 서술이 빠지면 학생은 자신이 읽은 기준을 다시 점검하기 어렵다.
다음 날에는 숫자가 아니라 조건을 바꿔 확인한다
같은 문제를 바로 다시 풀어 맞히는 것으로는 독립 해결을 확인하기 어렵다. 다음 날에는 계급 구간을 50점 이상 60점 미만, 60점 이상 70점 미만처럼 바꾸고, 질문도 “60점 미만인 학생 수”에서 “60점 이상인 학생의 상대도수”로 바꾼다. 그래프의 세로축 단위를 도수에서 상대도수로 바꾸거나, 전체 학생 수를 26명에서 30명으로 바꿀 수도 있다.
또 표를 히스토그램으로 바꾸어 제시하고, 불필요한 조사 날짜나 반 이름을 추가한다. 학생이 추가 정보에 끌려가지 않고 제목·단위·계급·질문 기준을 다시 표시하는지 살핀다. 수행평가 자료를 지필형 문제로 바꾼 경우에는 답을 먼저 알려주지 않고, 학생이 어느 줄에서 기준을 놓쳤는지 직접 지목하게 한다.
일주일 뒤에는 새로운 학교자료를 제한 시간 안에 제시한다. 학생은 표와 그래프를 연결하고, 필요한 구간을 선택한 뒤 계산 결과에 단위를 붙여 설명해야 한다. 이때 막대 하나를 무조건 비교하지 않고 자료의 전체 기준과 질문의 범위를 함께 말한다면, 문제집을 많이 푼 결과가 아니라 학교자료를 독립적으로 해석하는 능력이 형성된 것으로 볼 수 있다.
자주 묻는 질문
히스토그램에서 가장 먼저 봐야 할 것은 무엇인가요?
그래프 제목, 가로축의 계급 구간, 세로축의 단위를 먼저 확인해야 합니다. 막대 높이는 그다음에 비교합니다.
도수와 상대도수는 어떻게 구분하나요?
도수는 해당 구간의 실제 개수이고, 상대도수는 해당 도수를 전체 도수로 나눈 값입니다. 질문이 요구하는 기준에 따라 답의 형태가 달라집니다.