장기동중2수학과외, 내심과 외심을 위치 그림이 아닌 식과 그래프로 확인하기
내심과 외심은 그림에서 점의 위치를 외워 두는 것만으로는 길이 계산까지 이어지기 어렵다. 장기동 중2 학생 가운데에는 삼각형 안쪽에 있는 점을 내심, 바깥으로 나간 점을 외심이라고 기억하지만, 어느 선이 그 점을 지나고 어떤 길이가 같아지는지는 식으로 설명하지 못하는 경우가 있다. 이 단원에서는 위치 암기보다 수직이등분선과 각의 이등분선이라는 근거를 사용해 도형과 좌표를 연결한다.
그림의 점을 먼저 이름 붙이는 이유
학생은 문제에서 삼각형 ABC와 점 O가 주어지면 “O는 가운데쯤 있다”고 말한 뒤 곧바로 변의 길이를 더하거나 나눈다. 하지만 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이고, 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다. 따라서 위치만 보고 판단하지 않고, 어떤 선분과 수직인지, 어느 각을 똑같이 나누는지 표시해야 한다.
- 내심: 세 내각의 이등분선이 만나는 점
- 외심: 세 변의 수직이등분선이 만나는 점
- 내심에서 세 변에 내린 수선의 길이는 모두 같다
- 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 모두 같다
예를 들어 AB=AC인 이등변삼각형에서 꼭짓점 A의 각의 이등분선이 밑변 BC와 만나는 점을 D라고 하자. AD가 각의 이등분선이라는 사실만으로 BD=DC라고 단정하면 안 된다. 이등변삼각형의 성질이나 각의 이등분선 정리 등 문제에 주어진 근거를 함께 확인해야 한다. 학생이 자주 하는 실수는 그림이 대칭처럼 보인다는 이유로 표시되지 않은 길이를 같은 것으로 처리하는 것이다.
좌표를 사용할 때는 기울기와 절편을 따로 확인한다
도형을 좌표평면에 옮긴 문제에서는 선의 위치를 눈대중으로 읽지 않는다. 두 점 (x₁,y₁), (x₂,y₂)를 지나는 직선의 기울기는 (y₂-y₁)/(x₂-x₁)로 구하고, y=mx+b에 대입해 절편 b를 확인한다. 수직인 두 직선의 기울기 관계도 계산으로 검토한다. 단, 수직선처럼 기울기를 정의할 수 없는 경우에는 x값이 일정하다는 식으로 표현해야 한다.
예를 들어 A(1,1), B(5,3)의 중점을 구하면 (3,2)이다. AB의 기울기는 1/2이므로 AB의 수직이등분선은 기울기 -2를 갖고, 중점 (3,2)를 지나므로 y-2=-2(x-3), 즉 y=-2x+8이다. 학생이 그래프에서 대략 지나 보인다고 답했다면, 이 식에 중점의 좌표를 대입해 2=2가 되는지 확인하게 한다. 그래프에서 읽은 위치와 식으로 구한 절편이 일치해야 외심 후보를 신뢰할 수 있다.
장기동 학생에게 필요한 학습 리듬 구분
장기동에는 고창중학교, 운양중학교, 장기중학교, 푸른솔중학교가 있다. 같은 김포시의 감정중학교는 참고 학교일 뿐 장기동 소재 학교로 단정하지 않는다. 장기역 등 생활권 이동과 주거지에서 학교까지의 거리 차이로 귀가 후 공부 가능한 시간이 학생마다 다를 수 있다. 이동이 긴 학생에게는 내심·외심의 정의, 수선 표시, 좌표 검산을 한 번에 길게 배치하지 않고 짧은 도형 한 문제를 정확히 분석하게 한다. 시간이 비교적 안정적인 학생은 같은 개념을 좌표 문제와 서술형으로 이어 붙인다.
시험 직전 오답을 분류하는 방법
시험 직전에 학생은 틀린 문제를 모두 계산 실수로 묶는 경향이 있다. 실제로는 세 가지가 구분된다. 첫째, 내심과 외심의 정의를 바꾼 개념 오류다. 둘째, 수직 표시나 대응하는 변을 빠뜨린 조건 누락이다. 셋째, 좌표를 식에 대입하는 과정에서 부호나 절편을 잘못 쓴 계산 오류다.
“그림에서 O가 안쪽에 있으니 내심이다”는 설명만으로는 부족하다. “세 각의 이등분선이 만나는 점이므로 내심이다”처럼 판단 근거를 적어야 한다.
시험 직전 다른 단원까지 넓혀 복습하지 않고, 학생의 오답지에서 내심·외심 판단을 막은 선수 개념만 확인한다. 선분의 중점, 수직, 각의 이등분처럼 현재 문제에 필요한 내용만 짧게 점검한 뒤 바로 해당 도형으로 돌아온다.
수정 훈련은 손의 순서를 바꾸는 데서 시작한다
첫 단계에서는 그림에 점과 선의 이름을 직접 적는다. 내심 문제에는 세 각의 이등분 표시를, 외심 문제에는 두 변의 수직이등분선과 직각 표시를 한다. 다음에는 같은 길이로 보이는 부분에 임의로 색칠하지 않고, 왜 같은지 근거를 옆에 적는다.
좌표 문제가 나오면 먼저 두 점의 중점, 원래 선분의 기울기, 수직이등분선의 기울기, 절편 순서로 계산한다. 세 번째 단계에서는 구한 식에 후보 좌표를 대입하고, 다른 두 변에서 얻은 식과도 만나는지 확인한다. 그래프를 그릴 때는 축의 눈금을 먼저 정하고, 절편 하나만 보고 직선을 그리지 않는다.
길이 계산에서는 내심에서 변에 내린 수선의 발을 표시한 뒤 같은 수선 길이를 사용한다. 외심에서는 OA=OB=OC를 근거로 삼되, 직각삼각형이 만들어지는 경우에만 피타고라스 정리를 적용한다. 도형에 직각 표시가 없는데 임의로 피타고라스 정리를 쓰지 않도록 제한한다.
새 도형에서 독립적으로 확인하기
복습이 끝났는지는 같은 문제를 다시 맞혔는지로 판단하지 않는다. 먼저 꼭짓점의 위치와 숫자를 바꾼 삼각형을 제시하고, 내심인지 외심인지 근거를 한 문장으로 쓰게 한다. 이어 좌표를 바꾸어 중점과 수직이등분선의 식을 각각 구하게 한다. 이번에는 그래프를 먼저 보고 식을 나중에 세우게 하여 순서를 바꾼다.
마지막 검증에서는 제한 시간 안에 풀이한다. 학생이 그림의 위치만 말하지 않고 “이 선은 두 변을 수직이등분하므로 외심을 지난다”, “두 식의 교점 좌표를 원래 조건에 대입해 확인했다”고 설명하면 독립 적용으로 본다. 틀렸을 때도 답만 고치지 않고 정의 오류, 조건 누락, 부호 오류, 그래프 해석 오류 중 무엇인지 표시한다.
장기동중2수학과외에서 다루는 방식
수업은 학생의 통학과 귀가 시간을 고려해 한 회차의 양을 정한다. 짧은 시간에는 도형 기호 표시와 정의 설명을 중심으로 하고, 긴 시간이 가능한 날에는 좌표식과 그래프 검증까지 연결한다. 중3 진입 전에는 중2 전체를 다시 펼치기보다 내심·외심 문제에서 반복되는 수직, 중점, 직선의 식만 골라 미완료 지점을 정리한다.
자주 묻는 질문
내심과 외심은 모두 삼각형 안에 있나요?
내심은 항상 삼각형 내부에 있지만, 외심은 삼각형의 모양에 따라 내부, 변 위, 외부에 있을 수 있다.
그림에서 가운데에 있는 점을 외심으로 봐도 되나요?
안 된다. 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이라는 조건으로 확인해야 한다.
좌표 문제에서 그래프와 식 중 무엇을 먼저 보나요?
둘 중 하나만 믿지 않고 기울기와 절편을 식으로 구한 뒤 그래프의 위치와 대조한다.