구래동고2수학과외: 끼인각을 본 뒤 코사인법칙의 계산 줄을 끝까지 확인하기
답안에 a²=6²+8²=100이라고 적혀 있었다. 두 변의 길이만 제곱해 더한 식인데, 두 변 사이의 끼인각이 60°라는 조건이 빠진 상태였다. 구래동에서 김포호수고등학교 통학과 과제를 함께 소화하는 고2 학생에게는 공식을 외우는 것보다, 그림의 조건을 계산 줄에 옮기는 과정이 더 직접적인 점검 대상이 된다.
6, 8, 60°에서 빠진 한 항
삼각형에서 a가 각 A의 맞은편 변이고, 나머지 두 변이 b=6, c=8, 그 끼인각이 A=60°라면 코사인법칙은 다음과 같다.
a²=b²+c²-2bc cos A
a²=6²+8²-2·6·8·cos60°
=36+64-96·1/2=52
따라서 a=√52=2√13이다.
학생이 쓴 a²=6²+8²은 직각삼각형에서만 사용할 수 있는 피타고라스 관계처럼 처리한 것이다. 이 문제의 각은 60°이므로 -2bc cos A 항이 반드시 들어가야 한다. 두 변과 그 사이 각이 주어졌다는 사실이 바로 코사인법칙을 선택하고, 해당 항을 채우는 근거다.
공식을 다시 고르기보다 누락된 조건을 옆에 남기기
오답을 지운 뒤 공식을 통째로 다시 쓰면 같은 누락이 반복될 수 있다. 먼저 학생이 틀린 계산 줄을 남기고 그 옆에 다음 세 조건을 표시한다.
b=6, c=8: 알고 있는 두 변A=60°: 두 변 사이의 끼인각-2bc cos A: 끼인각을 사용하는 항
그다음 36+64 뒤에 -2·6·8·cos60°를 직접 삽입해 계산한다. 결과의 크기도 확인한다. 60°는 예각이므로 cos60°>0이고, 따라서 a²는 6²+8²보다 작아야 한다. 실제 값 52는 100보다 작으므로 식과 각의 관계가 서로 맞는다.
각이 120°로 바뀌었을 때 부호까지 유지되는가
다음에는 두 변이 5, 7이고 그 사이의 각이 120°인 삼각형에서 맞은편 변을 구한다.
a²=5²+7²-2·5·7·cos120°
cos120°=-1/2이므로
a²=25+49-70(-1/2)=74+35=109
a=√109이다.
이번에는 둔각이라 코사인값이 음수이고, 앞의 마이너스와 결합해 더하기가 된다. 학생이 먼저 −2bc cos A를 적은 뒤 각도와 코사인값을 대입했는지, 마지막으로 √109가 두 변보다 큰 값인지 확인하면 된다. 끼인각이 커지면 맞은편 변도 커진다는 관계까지 계산 결과와 대조할 수 있다.