기흥구 고3수학과외, 단면 위치가 달라질 때 이면각 다시 세우기
기흥고등학교, 성지고등학교, 보정고등학교, 구성고등학교, 청덕고등학교, 초당고등학교가 있는 기흥구에서는 구갈동·동백동·마북동·보라동·보정동·상하동 등 생활권에 따라 하교 뒤 이동 시간이 달라질 수 있다. 보라신창아파트와 보라쌍용아파트처럼 주거지에서 학교와 자습 공간으로 이동한 뒤에는 긴 풀이보다 조건을 짧게 정리하고 검산하는 습관이 중요하다.
교선이 바뀌면 기준 평면부터 다시 잡는다
한 변의 길이가 6인 정사면체 \(ABCD\)에서 면 \(ABC\)와 면 \(DBC\)가 이루는 이면각을 구해 보자. 두 면의 교선은 \(BC\)이므로, 각 면 안에서 \(BC\)에 수직인 선분을 각각 잡아야 한다.
면 \(ABC\)에서 \(BC\)의 중점을 \(M\)이라 하면 \(AM\perp BC\)이고, 정삼각형의 높이이므로
\[ AM=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt3 \]
마찬가지로 면 \(DBC\)에서 \(DM\perp BC\), \(DM=3\sqrt3\)이다. 따라서 이면각은 \(\angle AMD\)로 바꾸어 계산한다. 정사면체의 중심을 이용하면 두 수직선 사이의 각에 대해
\[ \cos\theta=\frac{1}{3} \]
이므로
\[ \theta=\cos^{-1}\frac13 \]
이다. 여기서 \(M\)은 단순히 임의의 점이 아니라 교선 \(BC\) 위에서 두 수직 단면을 만드는 점이다.
틀린 풀이: 교선이 \(BC\)에서 다른 위치로 옮겨진 문제에서도 이전 풀이의 \(M\)과 각 \(\theta\)를 그대로 사용하면 된다고 판단했다.
이 식이 틀린 이유는 이면각 자체가 두 평면의 관계로 정해지더라도, 단면을 만드는 점과 수직선의 방향이 바뀌면 계산에 사용하는 보조삼각형이 달라질 수 있기 때문이다. 교선의 위치가 바뀐 새 단면에서 이전의 \(AM\), \(DM\), \(\angle AMD\)를 자동으로 복사할 수 없다.
오답 줄에 조건을 다시 대입하는 과정
- 틀린 줄 표시: “교선 위치가 바뀌어도 이전 각 \(\theta=\cos^{-1}(1/3)\)를 그대로 사용한다.”
- 조건 확인: 새 교선을 \(l\)이라 하고, 각 평면에서 \(l\)에 수직인 선을 각각 \(u,v\)로 다시 설정한다.
- 식 수정: 이면각은 \(\angle(u,v)\)이므로, 방향벡터를 \(\vec u,\vec v\)라 하면 \(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}\)를 사용한다.
- 검산: \(0\leq\theta\leq\pi\) 범위를 확인하고, 두 평면이 수직이면 내적이 0, 평행이면 절댓값이 1이 되는지 대입한다.
예를 들어 두 평면의 수직 단면 방향벡터가 \(\vec u=(2,1,2)\), \(\vec v=(1,2,-2)\)라면
\[ \vec u\cdot\vec v=2+2-4=0 \]
이므로 \(\cos\theta=0\), 따라서 \(\theta=\frac{\pi}{2}\)이다. 이전 정사면체의 각을 가져오는 것이 아니라 새 교선과 새 수직 단면에서 각을 다시 산출해야 한다.
단면 위치를 바꾼 독립 검증
이번에는 한 변의 길이가 4인 정사면체 \(PQRS\)에서 교선을 \(QR\)이 아니라 면 \(PQR\)과 면 \(QRS\)의 교선으로 다시 확인하고, \(QR\)의 중점을 \(N\)으로 둔다. 두 면에서 \(QR\)에 수직인 선분은 각각 \(PN\), \(SN\)이다.
\[ PN=SN=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3 \]
정사면체의 중심 구조에서 두 단면 방향의 내적을 계산하면
\[ \cos\phi=\frac13 \]
따라서
\[ \phi=\cos^{-1}\frac13 \]
이번에는 숫자와 꼭짓점 이름을 바꾸었지만, 먼저 교선을 찾고 그 교선에 수직인 두 선을 만든 뒤 내적으로 각을 확인하는 순서는 유지된다. 반대로 교선이 달라져 수직 단면의 방향이 달라진다면 반드시 새 벡터를 세워야 하며, 이전 각을 그대로 대입하는 것은 검산을 통과하지 못한다.