기흥구 고2수학과외: 0/0 유리화형을 좌우극한까지 연결하는 풀이
방과 후 기흥고등학교나 보정고등학교 등에서 이동한 뒤 자습 시간이 짧아지면, 풀이를 끝까지 다시 점검하기보다 익숙한 공식만 빠르게 적용하기 쉽습니다. 극한에서는 특히 0/0이 나왔다는 사실과 극한값이 0이라는 결론을 구분해야 합니다.
켤레식은 분자와 분모 전체에 곱해야 한다
다음 극한을 살펴보겠습니다.
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \]
분자와 분모에 \(x=0\)을 대입하면 \(0/0\)이므로 바로 계산할 수 없습니다. 분자의 켤레식 \(\sqrt{x+1}+1\)을 분자와 분모에 모두 곱하면
\[ \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \]
따라서
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac12 \]
입니다. 학생의 풀이에는 \(\sqrt{x+1}+1\)을 분자에만 곱해
\[ \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x} \]
처럼 적은 흔적이 있었습니다. 이 식은 원래 분수에 \(1\)을 곱한 것이 아니므로 같은 값을 보존하지 못합니다. 켤레식은 반드시 분자와 분모에 함께 곱해야 합니다.
좌극한과 우극한도 같은 식으로 확인하기
\(\sqrt{x+1}\)은 \(x\ge -1\)에서 정의되므로 \(x=0\)의 왼쪽과 오른쪽 모두에서 접근할 수 있습니다. 유리화한 식
\[ \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \]
은 \(x=0\) 근처에서 연속이므로
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac12 \]
가 됩니다. 따라서 좌극한과 우극한이 연결되어 양쪽 극한이 존재합니다. 단순히 \(0/0\)을 없애는 데서 끝나는 것이 아니라, 유리화한 뒤 양쪽에서 같은 값으로 접근하는지까지 확인해야 합니다.
조건·계산·검산 세 칸으로 오류 위치 찾기
비슷한 문제를 다시 풀 때는 풀이를 세 부분으로 나눕니다.
- 조건: \(x\to0\), \(x+1\ge0\), \(x\ne0\)을 확인한다.
- 계산: 분자와 분모 전체에 \(\sqrt{x+1}+1\)을 곱한 뒤 \(x\)를 약분한다.
- 검산: 좌극한과 우극한이 각각 \(\frac12\)인지 확인하고, 유리화한 식에 \(x=0\)을 대입해 같은 값이 나오는지 본다.
오류가 생기면 세 칸 전체를 다시 쓰지 않고, 예를 들어 켤레식을 분자에만 곱했다면 계산 칸만 다음처럼 고칩니다.
\[ \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \times \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \]
표현이 바뀐 두 문제 중 적용할 유리화 고르기
다음 두 식을 비교합니다.
\[ \text{가. }\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}, \qquad \text{나. }\lim_{x\to0}\frac{x}{\sqrt{x+4}+2} \]
가에서는 분자의 차를 없애기 위해 \(\sqrt{x+4}+2\)를 곱합니다.
\[ \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} \]
그러므로 가의 극한은 \(\frac14\)입니다. 반면 나는 이미 분모가 켤레식 형태이므로 억지로 다시 유리화하지 않고 바로 대입하여
\[ \lim_{x\to0}\frac{x}{\sqrt{x+4}+2}=0 \]
으로 판단합니다. 두 식 모두 제곱근이 있지만, 0/0 꼴인지와 켤레식이 필요한 위치가 다릅니다. 새로운 문제에서 먼저 조건과 형태를 구분한 뒤 적절한 쪽을 선택하는지가 확인할 지점입니다.