보정동중3수학과외, 도형의 답을 식과 조건으로 다시 검산하는 연습
학생이 삼각형 문제의 답을 65°라고 적은 뒤 풀이를 덮었다. 계산만 보면 65°가 맞아 보였지만, 답안에는 주어진 각 50°와 65°를 더한 뒤 180°에서 뺀 흔적만 있었다. 두 각이 실제로 삼각형의 내각인지, 그림에서 표시된 위치가 무엇인지, 구한 각이 어느 꼭짓점의 각인지 확인하는 과정은 없었다. 이 학생에게 필요한 것은 같은 유형을 더 많이 푸는 일이 아니라, 도형의 조건을 식으로 옮긴 뒤 그 식과 결과가 서로 맞는지 확인하는 습관이다.
그림의 숫자를 바로 더하지 않고 각의 위치부터 확인하기
수업에서는 먼저 그림을 보자마자 계산하지 않도록 했다. 학생은 삼각형 ABC에서 ∠A=50°, ∠B=65°일 때 ∠C를 구하는 문제를 풀며 다음과 같이 적었다.
180-50+65=195, 따라서 ∠C=195°
오류는 단순한 계산 실수처럼 보이지만, 실제로는 삼각형의 내각 합을 식으로 옮기는 과정에서 뺄셈의 범위를 놓친 장면이다. 삼각형의 세 내각을 A, B, C로 두면 A+B+C=180°이고, C만 남기려면 양변에서 A와 B를 함께 빼야 한다. 따라서 C=180°-(50°+65°)=65°이다.
학생에게 곧바로 정답을 다시 쓰게 하지 않고, 그림의 세 꼭짓점에 A, B, C를 표시한 뒤 ‘주어진 두 각이 삼각형 안쪽에 있는가?’를 먼저 말하게 했다. 이어서 식을 180°-(50°+65°)처럼 괄호로 묶었다. 마지막에는 계산 결과를 세 내각에 다시 대입하여 50°+65°+65°=180°인지 확인했다. 답을 맞히는 것과 근거가 타당한지 확인하는 것을 분리한 것이다.
맞은 답도 세 각의 합으로 되돌려 보기
다음 문항에서는 학생이 처음부터 ∠C=65°를 정확히 구했다. 그러나 풀이를 살펴보니 180-115=65라고만 적혀 있어 115가 어디에서 나온 수인지 설명하지 못했다. 숫자를 기억해 계산한 것인지, 두 내각의 합을 구한 것인지 구분하기 어려운 답이었다.
수정할 때는 계산 줄을 늘리는 대신 각 줄에 근거를 붙였다.
- ∠A+∠B=50°+65°=115°
- 삼각형의 내각의 합은 180°
- ∠C=180°-115°=65°
- 50°+65°+65°=180°이므로 세 내각의 조건과 일치
이 과정에서 학생은 ‘검산은 답을 다시 계산하는 것’이라고 말했지만, 실제로는 계산 결과가 문제의 도형 조건을 만족하는지 확인하는 일임을 알게 됐다. 만약 세 각의 합이 180°가 되지 않는다면 계산이 틀렸거나, 애초에 표시한 각을 내각으로 잘못 읽은 것이다.
선분의 길이와 각의 크기를 한 번에 섞지 않기
또 다른 프린트에는 이등변삼각형 ABC에서 AB=AC이고 ∠B=42°일 때 ∠A를 구하는 문제가 있었다. 학생은 같은 길이의 변을 확인했지만, 곧바로 ∠A=42°라고 적었다. AB=AC이면 그에 마주 보는 각인 ∠C와 ∠B가 같다는 성질을 사용해야 하므로 ∠C=42°이다. 그다음 삼각형의 내각 합을 이용하면 ∠A=180°-(42°+42°)=96°가 된다.
여기서 학생이 바꾼 행동은 ‘같은 변 표시를 찾은 뒤 마주 보는 각을 짝으로 연결하기’였다. 길이가 같은 변을 보고 그 옆의 각을 같다고 쓰지 않도록, 변과 마주 보는 꼭짓점을 선으로 표시했다. 이후 ∠A+∠B+∠C=180°에 실제 값을 넣고, 96°+42°+42°=180°인지 검산했다. 계산 결과가 96°라는 사실보다, 왜 ∠B와 ∠C를 같다고 정했는지가 답안에 남게 되었다.
보정동 학생의 일정에서는 풀이 확인 시간을 따로 확보해야 한다
보정동에는 소현중학교와 용인신촌중학교가 있고, 같은 기흥구의 구갈중학교·구성중학교·나곡중학교는 참고할 수 있는 학교이지만 보정동 소재 학교와는 구분해야 한다. 학교별 시험 정보를 확인하지 않은 채 난도나 출제 경향을 단정하기보다, 학생의 귀가 시각과 과제량에 맞춰 도형 풀이 뒤 10분 정도를 검산 시간으로 배치하는 편이 실질적이다. 보정동카페거리와 보정대림아파트가 포함된 생활권에서 이동 시간이 일정하지 않은 학생이라면 긴 추가 문제보다 그날 푼 한 문항의 조건 표시와 역검산을 끝내는 것을 기준으로 삼을 수 있다.
그림을 돌리고 숫자를 바꿔도 같은 근거를 꺼내는가
이해 여부는 같은 문제를 다시 맞히는 것으로 판단하지 않았다. 새 문제에서는 이등변삼각형의 꼭짓점을 위아래로 바꾸고, 같은 변을 AC=BC로 제시했다. ∠A=47°일 때 ∠B와 ∠C를 구하는 문항이었다. 학생은 먼저 AC와 BC가 같으므로 그에 마주 보는 ∠B와 ∠A가 같다고 적었다. 따라서 ∠B=47°, ∠C=180°-(47°+47°)=86°가 된다.
마지막에는 47°+47°+86°=180°을 확인했다. 그림의 방향이나 꼭짓점 이름이 바뀌었지만, 학생은 숫자 47을 기억해서 옮긴 것이 아니라 ‘같은 변의 맞은편 각이 같다’는 근거를 다시 사용했다. 도형 학습에서 독립적으로 적용했다는 판단은 이처럼 새 배치에서도 첫 행동인 조건 표시, 성질 선택, 식 작성, 결과 검산이 도움 없이 이어지는지로 확인한다.
가정에서 답안을 볼 때도 정답 옆에 풀이 근거가 있는지만 확인하면 된다. ‘내각의 합 180°’, ‘같은 변의 맞은편 각이 같음’처럼 사용한 성질이 적혀 있고, 구한 각을 원래 조건에 대입했을 때 모순이 없는지가 남아 있다면 한 문제를 푼 뒤의 학습 상태를 더 정확히 판단할 수 있다.