보정동중2수학과외, 확률에서 경우를 빠뜨리지 않는 분류 연습
중2 확률 문제에서 답은 맞았지만 설명을 요구받으면 풀이가 짧아지는 학생이 있다. 예를 들어 두 개의 주사위를 던져 합이 7이 되는 경우를 구할 때 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)을 적어 답을 구할 수는 있다. 그러나 수행평가나 서술형에서는 왜 이 목록이 전체 경우인지, 같은 경우를 두 번 세지 않았는지를 보여 주어야 한다. 보정동중2수학과외에서는 정답만 확인하지 않고 경우를 분류하고 검증하는 과정을 학습 기준으로 삼는다.
현재 나타나는 문제는 ‘못 세는 것’보다 ‘세는 기준이 없는 것’에 가깝다
학생은 문제를 읽은 뒤 가능한 결과를 머릿속에서 바로 떠올린다. 처음에는 (1,6), (2,5), (3,4)까지만 적고 나머지를 빠뜨리기도 하며, 순서를 구분해야 하는 상황에서 (1,6)과 (6,1)을 같은 경우로 처리하기도 한다. 반대로 이미 적은 (2,5)를 다시 쓰고도 알아차리지 못한다.
현재 중2에서는 경우의 수와 확률이 연결되면서 단순히 답을 적는 방식으로는 풀이가 완성되지 않는다. 확률은 전체 경우의 수와 조건을 만족하는 경우의 수를 정확히 정해야 하므로, 앞 단계에서 한 가지 경우라도 누락하거나 중복하면 마지막 분수까지 달라진다. 중1의 나열 경험이 부족해 보여도 전 범위를 다시 시작하지 않고, 지금 필요한 ‘순서 구분’과 ‘전체 경우 확인’만 짧게 점검한 뒤 중2 문제로 돌아온다.
수형도의 가지를 끝까지 펼치는 훈련
수행평가 설명문을 쓰는 장면에서 자주 드러나는 오류는 수형도의 첫 번째 가지는 자세히 그리면서 두 번째 가지부터 생략하는 것이다. 예를 들어 빨강, 파랑, 노랑 공 중 하나를 뽑고 다시 다른 공을 뽑는다면 첫 번째 선택마다 두 번째 선택의 가지가 어떻게 이어지는지 표시해야 한다. 학생이 빨강에서 파랑과 노랑만 적고 파랑에서 이어지는 가지를 빠뜨리면 실제 전체 경우보다 적게 센다.
이때 “모든 경우를 써 보자”라고만 말하지 않는다. 먼저 문제에서 순서를 구분하는지 괄호로 표시한다. 두 번 뽑는 순서가 결과에 영향을 준다면 (빨강, 파랑)과 (파랑, 빨강)을 서로 다른 경우로 적는다. 그다음 수형도의 각 첫 번째 가지에 두 번째 선택 가지가 같은 수로 이어지는지 확인한다. 가지 수가 다르면 왜 다른지 조건을 옆에 짧게 적는다.
- 첫 번째 선택의 기준을 왼쪽에 적는다.
- 각 가지에서 가능한 다음 선택을 빠짐없이 아래로 연결한다.
- 끝점마다 괄호로 결과를 기록한다.
- 끝점의 개수를 세고, 표나 목록으로 다시 세어 일치하는지 확인한다.
맞힌 풀이도 근거가 약하면 다시 쓰게 한다
한 학생은 “주사위를 두 번 던져 눈의 합이 5인 경우는 4개이므로 확률은 4/36이다”라고 썼다. 답은 맞았지만 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)을 적지 않아 4개라는 숫자의 근거가 보이지 않았다. 또 전체 경우를 36이라고 썼지만, 한 번 던질 때 6가지이고 두 번 던지므로 6×6이라는 설명도 없었다.
처음에는 학생이 쓴 답을 지우지 않고 빈칸을 나눈다. 왼쪽에는 전체 경우, 오른쪽에는 조건을 만족하는 경우를 적는다. 전체 경우는 첫 번째 눈 1부터 6까지 각각 두 번째 눈 1부터 6을 연결해 36가지임을 확인한다. 조건을 만족하는 목록은 합이 5가 되는 네 쌍만 따로 표시한다. 따라서 확률은 4/36=1/9가 된다. 여기서 중요한 것은 분수를 약분하는 계산보다 분자와 분모가 각각 무엇을 세었는지 문장으로 설명하는 일이다.
전체 경우를 먼저 정하고, 조건을 만족하는 경우를 그 안에서 골라낸다. 목록을 적었다면 표나 수형도로 다시 세어 중복과 누락을 확인한다.
한 자료를 덮고 풀이를 재현하는 보정동 학습 루틴
교과서와 학교 프린트를 동시에 펼쳐 놓으면 학생은 풀이를 보고 베껴 쓴 뒤 이해했다고 판단하기 쉽다. 그래서 한 자료만 남기고 다른 자료는 덮는다. 문제를 읽은 뒤 목록, 표, 수형도 중 하나를 스스로 선택하게 한다. 선택한 방법으로 전체 경우를 적고, 조건에 맞는 경우에 동그라미를 친다. 마지막에는 사용한 방법과 다른 방법을 한 번 더 적용한다.
예를 들어 네 명 중 회장과 부회장을 한 명씩 뽑는 문제라면 회장과 부회장의 역할이 다르므로 (민수, 지아)와 (지아, 민수)는 다른 경우다. 표를 이용할 때는 회장 이름을 행, 부회장 이름을 열로 놓고 같은 사람을 뽑는 칸을 제외한다. 수형도를 이용할 때는 첫 번째 역할을 정한 뒤 본인을 제외한 세 갈래를 연결한다. 두 방법으로 모두 12가지가 나오면 누락 여부를 확인할 수 있다.
반대로 순서를 구분하지 않는 문제에서는 같은 두 사람을 한 조로 묶었을 때 한 번만 기록해야 한다. 이 차이를 학생이 말로 설명하게 하지 않고, 문제의 표현에 “역할이 다른가”, “한 조인가”, “첫 번째와 두 번째 선택을 구분하는가”를 괄호로 표시하게 한다.
다음 날에는 숫자와 조건을 바꿔 독립적으로 확인한다
같은 문제를 다시 풀어 맞히는 것은 재현 확인에 불과하다. 다음 날에는 주사위 두 개 대신 주사위와 동전, 또는 공의 색과 뽑는 순서를 바꾼 새 문제를 제시한다. 예를 들어 주사위 두 개의 합이 8 이상이고 첫 번째 주사위가 짝수인 경우를 묻는다. 학생은 첫 번째 주사위를 2, 4, 6으로 먼저 분류하고, 각 경우에 가능한 두 번째 눈을 연결해야 한다.
이어 “두 번 뽑은 결과에서 같은 색은 제외한다”와 같은 조건을 추가한다. 이때 이전 목록을 그대로 가져오지 않고 조건에 맞지 않는 가지를 지우는지 본다. 마지막으로 목록으로 센 결과와 수형도로 센 결과가 같은지 비교하게 한다. 시간 제한도 둔다. 5분 안에 답만 쓰는 것이 아니라 전체 경우, 유리한 경우, 확률식을 모두 남기는지 확인한다.
보정동 생활권에서 과외 시간을 점검하는 방법
보정동에는 소현중학교와 용인신촌중학교가 있으며, 같은 기흥구의 구갈중학교·구성중학교·나곡중학교는 참고할 수 있는 학교이다. 이 학교들을 보정동 소재 학교로 단정하기보다 자녀가 실제로 다니는 학교의 프린트와 수행평가 안내를 우선 확인해야 한다. 보정동카페거리나 보정대림아파트 생활권에서 귀가하는 시간, 과제량, 시험 준비 순서를 함께 기록하면 경우의 수 풀이를 언제 배치할지 정하기 쉽다.
귀가 직후에는 새 문제를 많이 풀기보다 그날 작성한 수형도에서 빠진 가지 하나를 찾아 수정하게 한다. 주말에는 자료를 덮은 상태에서 조건이 바뀐 문제를 한 개 풀고, 풀이를 설명문으로 완성한다. 학부모는 맞힌 개수보다 “전체 경우를 어떤 기준으로 나누었는가”, “다른 방법으로 다시 세었는가”를 확인하면 된다.
자주 묻는 질문
경우를 전부 나열해야 하나요?
항상 긴 목록이 필요한 것은 아니다. 일정한 규칙이 있으면 표나 수형도를 사용할 수 있다. 다만 전체 경우를 어떻게 빠짐없이 만들었는지 근거는 남겨야 한다.
확률 답만 맞으면 설명은 생략해도 되나요?
서술형과 수행평가에서는 어렵다. 분모가 전체 경우의 수인지, 분자가 조건을 만족하는 경우의 수인지 목록·표·수형도 중 하나로 확인하는 과정이 필요하다.
중1 내용부터 전부 다시 해야 하나요?
그럴 필요는 없다. 순서 구분, 나열 기준, 중복과 누락 확인처럼 현재 문제를 막는 선수개념만 짧게 점검한 뒤 중2 확률 문제에 바로 적용한다.