보라동중2수학과외, 이등변삼각형에서 밑각을 정하는 근거 찾기
보라동에서 중2 수학을 지도할 때 도형 문제는 답을 빨리 구하는 것보다 어떤 조건으로 그 답을 정했는지 확인하는 과정이 중요하다. 특히 이등변삼각형에서는 그림의 모양만 보고 밑각을 정하거나, 비슷하게 생긴 변을 같은 길이라고 착각하는 장면이 자주 나타난다. 이때 필요한 것은 많은 문제를 추가하는 것이 아니라 주어진 조건과 구할 내용을 분리하고, 첫 식을 근거와 함께 적는 습관이다.
그림의 모양보다 같은 변 표시를 먼저 본다
이등변삼각형 ABC에서 AB=AC라고 주어졌다면 꼭짓점은 A이고 밑변은 BC이다. 따라서 같은 변 AB와 AC에 마주 보는 각인 ∠C와 ∠B가 같다. 이 관계는 그림에서 어느 쪽이 더 넓어 보이는지와 관계없이 주어진 AB=AC에서 나온다.
예를 들어 ∠A=40°이고 AB=AC인 경우에는 먼저 ∠B=∠C라고 적는다. 삼각형의 내각의 합을 이용하면
∠B+∠C+40°=180°
2∠B=140°
∠B=70°, ∠C=70°
처럼 진행할 수 있다. 여기서 70°라는 결과만 쓰면 맞는 답이라도 근거가 드러나지 않는다. “AB=AC이므로 ∠B=∠C”라는 한 줄이 이 문제의 핵심이다.
보라동 학생에게 나타나는 실제 막힘
학교 프린트와 문제집을 함께 펼쳐 놓으면 학생은 그림 속 밑변이 아래에 있다는 이유만으로 양 끝 각을 밑각이라고 말한다. 그러나 삼각형의 방향이 기울어지거나 꼭짓점이 아래에 배치되면 같은 판단을 하지 못한다. AB=AC가 표시된 그림에서 ∠A와 ∠B 중 어느 각이 같은 각을 갖는지 묻자, “밑에 있는 각이니까 ∠A와 같다”고 답하는 식이다.
또 다른 장면에서는 ∠B=∠C를 알고도 바로 180°에서 주어진 각을 빼 버린다. ∠A=40°일 때 180°-40°=140°를 답으로 적고, 두 각에 나누어야 한다는 사실을 놓친다. 이는 단순 계산 실수라기보다 같은 각 두 개를 하나의 미지수로 묶지 못한 식 세우기 오류다.
오답을 줄이는 표시 순서
문제를 읽을 때 종이에 세 영역을 만든다. 첫째에는 주어진 조건, 둘째에는 도형에서 바로 따라오는 관계, 셋째에는 구할 각을 적는다. AB=AC는 첫째 영역에 쓰고, “∠B=∠C”는 둘째 영역에 옮긴다. 구할 각은 셋째 영역에 표시한다.
- 같은 길이인 변에 같은 색 표시를 한다.
- 같은 변에 마주 보는 각을 선으로 연결한다.
- 문제에서 주어진 각에는 네모 표시를 한다.
- 도형의 성질로 얻은 각에는 별표를 한다.
- 첫 식을 쓰기 전에 “왜 같은가”를 짧게 적는다.
이후 미지수를 하나만 정한다. ∠B=∠C이므로 두 각을 각각 x로 두고 x+x+40=180으로 적는다. 답을 구한 뒤에는 세 각의 합이 180°인지 다시 확인하고, 같은 변에 마주 보는 각이 실제로 같은지도 점검한다. 70°, 70°, 40°라면 두 조건이 모두 맞는다.
귀가 뒤 학습 순서를 바꾸는 방법
보라동에는 나곡중학교와 보라중학교가 있으며, 제공된 자료에서 보라신창아파트와 보라쌍용아파트 등의 생활권이 확인된다. 같은 기흥구의 구갈중학교, 구성중학교, 동백중학교는 참고 학교일 뿐 보라동 소재 학교로 단정하지 않는다. 학교 선택보다 중요한 것은 귀가 시각 이후 과제를 어떤 순서로 처리하는지다.
도형 오답이 나온 날에는 오답노트에 문제를 전부 옮기지 않는다. 틀린 그림에서 같은 변 표시가 빠졌는지, 마주 보는 각을 잘못 연결했는지, 식에서 두 각을 더하지 않았는지만 표시한다. 귀가 후 짧은 시간에는 표시와 첫 식만 다시 쓰고, 다음 학습 시간에 숫자와 그림의 방향이 바뀐 문제를 독립적으로 푼다.
새 그림에서 확인하는 독립 적용
훈련한 문제를 그대로 다시 풀게 하지 않는다. 예를 들어 ABC에서 AB=AC이고 ∠B=52°라고 제시한 뒤 ∠A와 ∠C를 구하게 한다. 학생은 먼저 ∠C=52°를 근거와 함께 적고, ∠A+52°+52°=180°에서 ∠A=76°를 얻어야 한다.
다음에는 같은 이등변삼각형을 옆으로 돌리고, 꼭짓점을 C로 바꾼다. 표시된 같은 변이 CA와 CB라면 마주 보는 각은 ∠B와 ∠A이다. 도형 위치가 바뀌어도 같은 변과 마주 보는 각을 정확히 연결하는지 본다. 마지막으로 시간 제한을 두고 학교 프린트의 서술형 문항을 풀게 하며, 정답뿐 아니라 “어느 두 변이 같으므로 어느 두 각이 같다”는 근거가 남아 있는지 확인한다.
과외에서 확인할 기록
수업에서는 문제 수보다 오답의 종류를 기록한다. 그림을 보고 밑각을 임의로 정했다면 조건 누락, 같은 변과 각의 대응을 틀렸다면 도형 근거 오류, 180°에서 뺀 뒤 두 각으로 나누지 않았다면 식 세우기 오류로 구분한다. 이렇게 해야 오답노트의 페이지 수가 늘어나는 대신 다시 훈련할 행동이 분명해진다.
자주 묻는 질문
그림에서 같은 길이처럼 보이면 같은 변인가요?
아니다. 길이 표시나 문제의 조건으로 확인해야 한다.
이등변삼각형이면 항상 밑각을 먼저 구하나요?
아니다. 같은 변이 무엇인지 확인한 뒤 그에 마주 보는 두 각이 같다는 근거를 먼저 적는다.
답만 맞으면 근거를 생략해도 되나요?
서술형에서는 감점될 수 있으므로 같은 변과 같은 각의 관계를 한 줄로 남기는 것이 안전하다.