보라동 고3 수학과외: 공간거리에서 수선의 발을 먼저 확인하는 연습
보라동의 보라고등학교 학생은 귀가 후 과제와 시험 준비 순서를 조정하는 과정에서 공간도형 문제를 다시 풀었다. 같은 기흥구의 성지고등학교, 기흥고등학교, 보정고등학교, 구성고등학교도 참고할 수 있지만, 이 사례에서는 보라동 내 학교인 보라고등학교 학생의 풀이만 다룬다.
계산보다 먼저 직선과 평면의 관계 확인하기
학생이 푼 문제는 점 \(P(1,2,3)\)과 평면 \(\pi: 2x-y+2z-5=0\) 사이의 거리를 구하는 것이었다. 학생은 그림에서 평면의 위치를 대략 확인한 뒤, 수선의 발을 구하지 않고 점의 좌표를 식에 바로 대입했다.
학생의 오답
\[ d=\frac{|2(1)-2+2(3)-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} =\frac{|1|}{3}=\frac13 \]
이 계산 자체는 점과 평면 사이 거리 공식에 따른 올바른 결과이다. 그러나 학생의 답안에는 “수선의 발을 찾지 않는다”는 판단만 있고, 왜 이 식이 최단거리를 나타내는지에 대한 근거가 빠져 있었다. 점에서 평면으로 가는 최단 선분은 평면의 법선벡터 \(\mathbf n=(2,-1,2)\)와 평행한 수선이어야 한다. 따라서 단순히 좌표를 대입한 것이 아니라, 평면의 법선 방향을 이용한 거리 공식임을 확인해야 한다.
틀린 줄에 표시하고 수선의 방향을 복원하기
학생은 답안의 “수선의 발을 구하지 않아도 된다”는 문장에 표시한 뒤, 평면의 법선벡터와 점에서 평면으로 향하는 벡터의 관계를 확인했다. 수선의 발을 \(H\)라 하면
\[ H=P-t(2,-1,2)=(1-2t,\;2+t,\;3-2t) \]
이고 \(H\)는 평면 위에 있으므로
\[ 2(1-2t)-(2+t)+2(3-2t)-5=0 \]
\[ 1-9t=0,\qquad t=\frac19 \]
이다. 따라서
\[ H=\left(\frac79,\frac{19}{9},\frac{25}{9}\right) \]
이며, 수선의 길이는
\[ PH=\left|\frac19\right|\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2} =\frac13 \]
이다. 원래 계산한 거리와 일치하므로 답은 \(\frac13\)으로 확정된다. 마지막으로 \(H\)를 평면의 식에 대입하면
\[ 2\cdot\frac79-\frac{19}{9}+2\cdot\frac{25}{9}-5=0 \]
이 되어 수선의 발 조건도 검산된다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 공식을 반복하지 않기 위해 점과 평면의 배치를 바꾸었다. 점 \(Q(2,-1,4)\), 평면 \(\sigma:x+2y-2z+6=0\)에 대해 학생은 먼저 법선벡터 \(\mathbf m=(1,2,-2)\)를 적고, 점을 평면 식에 대입했다.
\[ 1(2)+2(-1)-2(4)+6=-2 \]
따라서 점과 평면 사이 거리는
\[ d=\frac{|-2|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} =\frac{2}{3} \]
이다. 수선의 발을 \(K=Q-s(1,2,-2)\)로 두면 평면 조건에서 \(s=\frac29\)이고,
\[ QK=\frac29\sqrt9=\frac23 \]
가 되어 거리 공식과 일치한다. 학생은 이제 답만 적지 않고, 그림에서 최단거리의 방향이 평면의 법선과 평행한지, 수선의 발이 평면 위에 있는지, 거리 계산이 양수인지까지 순서대로 확인한다.