보라동고2수학과외

채운 점의 높이가 극한값이 아닌 이유

보라동고2수학과외에서 함수의 극한을 다룰 때는 식을 계산하기 전에 그래프에서 어느 방향으로 접근하는지와 무엇을 읽어야 하는지를 먼저 확인한다. 보라고등학교 과제나 지필평가를 준비할 때도 귀가 후 풀이 시간이 짧다면 그래프의 점을 즉시 답으로 옮기기보다 접근점과 좌우 경로를 표시하는 습관이 필요하다.

x=2에서 빈 원과 채운 점이 서로 다른 경우

다음과 같은 그래프가 있다고 하자.

• 왼쪽에서 x가 2에 가까워질 때 함수값은 3에 가까워진다.
• 오른쪽에서 x가 2에 가까워질 때도 함수값은 3에 가까워진다.
• (2, 3)은 빈 원이고, (2, 1)은 채운 점이다.

따라서 그래프가 나타내는 값은

lim_x→2 f(x)=3,   f(2)=1

이다. x가 2와 같아지는 순간의 함수값을 묻는다면 채운 점의 높이 1을 사용하지만, x가 2에 가까워질 때 함수값이 어디로 다가가는지를 묻는 극한에서는 빈 원의 높이 3을 읽는다.

왼쪽과 오른쪽의 높이가 다르면 극한은 성립하지 않는다

접근 방향을 생략하면 그래프 판독 자체가 완성되지 않는다. 예를 들어 x=2의 왼쪽에서는 함수값이 3으로, 오른쪽에서는 5로 가까워진다면

lim_x→2- f(x)=3,   lim_x→2+ f(x)=5

이므로 좌극한과 우극한이 다르다. 이때 양쪽 극한은 존재하지 않는다. 채운 점이 (2, 1)에 있더라도 f(2)=1이라는 사실은 양쪽 극한의 불일치를 바꾸지 못한다.

숫자만 바꾼 미니문제로 읽는 순서 고정하기

앞의 상황에서 학생의 답안에 다음과 같은 문장이 적혀 있었다고 하자.

“x=2에서 채워진 점의 y좌표가 1이므로 lim_x→2 f(x)=1이다.”

이 판단은 함수값과 극한값을 혼동한 것이다. 극한 기호 안의 x→2는 x=2에서의 점을 바로 읽으라는 뜻이 아니라, 2의 주변에서 그래프가 어느 높이로 다가가는지 확인하라는 뜻이다.

같은 위치에서 다음 조건으로 즉시 다시 판단한다.

• x=-1의 왼쪽과 오른쪽 그래프가 모두 y=-2에 가까워진다.
• (-1, -2)는 빈 원이다.
• (-1, 4)는 채운 점이다.

이때 답안에는 먼저 lim_x→-1-f(x)=-2, lim_x→-1+ f(x)=-2를 적고, 두 값이 같으므로 lim_x→-1f(x)=-2라고 써야 한다. 채운 점 때문에 달라지는 것은 f(-1)=4뿐이다.

표로 옮겨도 빈 원의 높이를 선택하는가

그래프 대신 다음 표가 주어졌을 때도 같은 기준을 적용한다.

표에서 x=2일 때의 값은 1이지만, 양쪽에서 x가 2에 가까워질수록 f(x)는 3에 가까워진다. 따라서 lim_x→2f(x)=3이다. 이처럼 새로운 표현에서도 좌우의 접근값과 x=2에서의 함숫값을 따로 표시하면 채운 점을 극한값으로 옮기는 오류를 막을 수 있다.