투영 평면이 달라지면 정사영 길이도 달라진다
마북동에서 구성고등학교에 다니는 고3 학생은 귀가 후 공간도형 문제를 풀 때, 전날 계산한 정사영 길이를 다음 문제에도 그대로 적용하는 습관이 있었다. 특히 투영 평면이 바뀌었는데도 같은 길이를 쓰는 오류가 반복되었다.
직선의 방향과 평면의 방향을 함께 확인하기
점 \(A(0,0,0)\), \(B(5,12,0)\)을 잇는 선분의 방향벡터는
\(\overrightarrow{AB}=(5,12,0)\)
실제 선분의 길이는
\[ |AB|=\sqrt{5^2+12^2}=13 \]
이를 \(xy\)평면에 정사영하면 \(z\)좌표가 사라지므로 정사영 벡터는 \((5,12,0)\)이고 길이는 \(13\)이다. 반면 \(xz\)평면에 정사영하면 \(y\)좌표가 사라져 벡터가 \((5,0,0)\)으로 바뀐다.
\[ \left|\operatorname{proj}_{xz}\overrightarrow{AB}\right| =\sqrt{5^2}=5 \]
따라서 투영 평면에 따라 정사영 길이는 \(13\)과 \(5\)로 달라진다. 평면의 법선벡터를 이용하면 같은 결과를 확인할 수 있다.
\[ |\operatorname{proj}_{P}\mathbf v| =\sqrt{|\mathbf v|^2-\frac{(\mathbf v\cdot\mathbf n)^2}{|\mathbf n|^2}} \]
\(xz\)평면의 법선벡터는 \(\mathbf n=(0,1,0)\)이므로
\[ \sqrt{13^2-\frac{(5,12,0)\cdot(0,1,0)^2}{1}} =\sqrt{169-144}=5 \]
오답 줄을 표시하고 조건을 다시 대입하기
오답: \(xy\)평면에서 정사영 길이가 \(13\)이므로 \(xz\)평면에서도 정사영 길이는 \(13\)이다.
이 식은 투영 평면이 바뀌었는데도 좌표 성분을 바꾸지 않은 오답이다. \(xy\)평면에서는 \(x,y\)방향 성분을 남기지만, \(xz\)평면에서는 \(x,z\)방향 성분만 남긴다는 조건을 확인해야 한다.
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 다음처럼 식을 교체했다.
\[ xz\text{평면 정사영 벡터}=(5,0,0),\qquad \text{정사영 길이}=5 \]
원래 길이 \(13\)보다 작거나 같다는 정사영의 기본 성질도 확인하고, \(\sqrt{5^2}=5\)를 다시 계산했다. \(xy\)평면에서의 \(13\)과 \(xz\)평면에서의 \(5\)를 비교해 평면 조건이 결과를 바꾸는지 검산했다.
조건을 바꾼 독립 검증
새 선분 \(C(2,-1,4)\), \(D(8,7,4)\)를 생각하면
\[ \overrightarrow{CD}=(6,8,0),\qquad |CD|=10 \]
이번에는 투영 평면 후보를 \(xy\)평면과 \(xz\)평면으로 두고, 정사영 길이가 \(7\) 이상 \(11\) 이하인 경우만 남긴다.
- \(xy\)평면: \((6,8,0)\), 정사영 길이 \(10\) → 가능
- \(xz\)평면: \((6,0,0)\), 정사영 길이 \(6\) → \(7\leq6\leq11\)을 만족하지 않으므로 제외
즉 제외값을 \((6)\)으로 묶고, 대표값 \(10\)과 \(6\)을 각각 대입해 확인하면 투영 평면이 달라질 때 같은 결론을 사용할 수 없다는 사실이 드러난다. 학생은 이제 계산 전에 먼저 선분의 방향벡터와 투영 평면의 좌표 조건을 확인한다.