마북동 고2수학과외에서 다루는 무한대 극한의 최고차항 판단
답안에 “최고차항을 따로 보지 않음”이라고 표시된 순간, 계산 실수보다 먼저 확인할 부분이 드러난다. 마북동에서 구성고등학교의 과제와 지필평가를 함께 준비할 때도, 귀가 후 풀이 시간이 짧다면 무한대의 극한에서 식 전체를 붙잡기보다 항의 차수와 계수·부호를 분리해 읽는 과정이 필요하다.
분모와 분자의 차수가 같을 때 남는 값
다음 극한을 살펴보자.
\[ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+x}{x^2-3} \]
분자와 분모 모두 최고차항의 차수는 2이다. 따라서 \(x^2\)으로 나누면
\[ \frac{2x^2+x}{x^2-3} =\frac{2+\frac1x}{1-\frac3{x^2}}. \]
\(x\to\infty\)에서 \(\frac1x\to0\), \(\frac3{x^2}\to0\)이므로 극한은
\[ \frac{2+0}{1-0}=2 \]
이다. 여기서 핵심 근거는 분자의 최고차항 계수 \(2\)와 분모의 최고차항 계수 \(1\)의 비인 \(\frac21\)이다.
\(x\to-\infty\)에서도 부호를 따로 확인해야 하는 이유
학생의 풀이에는 이 식을 보고 “\(x\)가 음의 무한대로 가므로 분자와 분모가 모두 음수가 되어 극한은 \(-2\)”라고 적은 흔적이 있었다. 그러나 최고차항은 \(2x^2\)와 \(x^2\)이므로 \(x^2\)의 값은 양수다. \(x\)의 부호가 바뀌어도 두 최고차항의 부호는 바뀌지 않는다.
실제로
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{2x^2+x}{x^2-3} =\lim_{x\to-\infty} \frac{2+\frac1x}{1-\frac3{x^2}} =2 \]
이다. 따라서 \(x\to\infty\)와 \(x\to-\infty\)의 값을 연결할 때는 \(x\) 자체의 부호가 아니라 최고차항의 차수와 계수를 보아야 한다.
조건·계산·검산 중 어디서 끊겼는지 표시하기
풀이를 세 칸으로 나누어 다음처럼 기록한다.
- 조건: \(x\to\infty\) 또는 \(x\to-\infty\)인지, 분자·분모의 최고차항 차수가 각각 2인지 확인한다.
- 계산: \(x^2\)으로 나누어 \(\frac{2+\frac1x}{1-\frac3{x^2}}\)로 바꾼다.
- 검산: \(x\)가 양의 무한대와 음의 무한대로 갈 때 \(\frac1x,\frac1{x^2}\)의 변화를 대조한다.
예를 들어 최고차항을 확인하지 않고 곧바로 \(-2\)라고 썼다면 계산 칸이 아니라 조건 칸에 오류 표시를 해야 한다. 그 뒤 조건 칸만 다시 써서 “최고차항은 \(2x^2, x^2\)이고 둘 다 양수”라고 고친다. 이미 맞게 쓴 식 전체를 무작정 반복하지 않고, 막힌 지점에 해당하는 칸만 재작성하는 방식이다.
계수와 차수가 달라진 식에서 스스로 막힌 위치 찾기
힌트 없이 다음 문제를 제시한다.
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{-3x^3+2x}{6x^3-x^2+1} \]
이때 답만 적는 것이 아니라, 세 칸 중 어느 곳에서 멈췄는지 먼저 표시하게 한다. 최고차항은 \(-3x^3\)과 \(6x^3\)이므로
\[ \frac{-3x^3+2x}{6x^3-x^2+1} = \frac{-3+\frac{2}{x^2}}{6-\frac1x+\frac1{x^3}}. \]
\(x\to-\infty\)에서도 \(\frac1x,\frac1{x^2},\frac1{x^3}\)는 모두 0으로 접근하므로
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{-3x^3+2x}{6x^3-x^2+1} =-\frac12. \]
이 변형에서 \(x^3\)의 부호 때문에 분자와 분모가 각각 양수로 변한다는 식으로 판단했다면, 최고차항을 실제로 비교하지 않은 것이다. 반대로 \(-3\)과 \(6\)을 확인하고 \(-\frac12\)를 얻었다면, 계수와 부호를 새로운 조건에 맞게 연결한 것으로 볼 수 있다.