금천구 고3수학과외에서 확인한 로그 합성함수의 첫 오류
가산동·독산동·시흥동처럼 이동과 과제가 겹치는 생활권에서는 풀이를 급히 정리하다가 마지막 답만 고치는 일이 생기기 쉽다. 금천고등학교, 독산고등학교, 문일고등학교 등에서 고등학교 수학을 이어 가는 학생 사례에서도 정의역과 연쇄법칙을 따로 확인하는 습관이 중요했다.
마지막 답보다 먼저 봐야 할 줄
학생은 다음 함수를 미분하는 과정에서 첫 줄의 오류를 찾지 않고 결론만 수정했다.
f(x)=ln(sin x), 0<x<π
학생의 오답은 다음과 같다.
f'(x)=1/sin x
이 식은 틀린 식이다. 바깥 함수 ln u의 도함수는 1/u이지만, 안쪽 함수 u=sin x도 x에 따라 변하므로 u'=cos x를 곱해야 한다. 따라서 연쇄법칙에 의해
f'(x)=1/sin x · cos x = cos x/sin x = cot x
가 된다. 또 ln(sin x)가 정의되려면 sin x>0이어야 하므로 주어진 구간에서는 0<x<π이다. x=0, π에서는 로그의 진수가 0이므로 끝점을 포함할 수 없다.
식과 그래프를 함께 대조하는 수정 과정
- 오답 줄에 표시한다: f'(x)=1/sin x.
- 로그 안쪽을 변수로 둔다: u=sin x. 정의역 조건은 u>0이다.
- u'=cos x를 확인하고 첫 줄을 f'(x)=cos x/sin x로 다시 쓴다.
- x=π/3을 대입하면 수정된 식은 f'(π/3)=1/√3이다. 오답식은 2/√3이므로 서로 다르다.
- 그래프의 증가·감소도 확인한다. 0<x<π/2에서는 cos x>0이므로 증가하고, π/2<x<π에서는 cos x<0이므로 감소한다. 수정된 도함수의 부호와 그래프가 일치한다.
이렇게 하면 해설과 달라진 마지막 숫자만 바꾸는 것이 아니라, 정의역과 안쪽 함수의 변화율이 처음 연결된 줄에서 오류를 고칠 수 있다.
정의역 경계를 옮긴 독립 검증
같은 식을 반복하지 않고 다음 문제로 확인했다.
g(x)=ln(sin(x+π/6))
이번에는 로그의 진수가 양수여야 하므로
sin(x+π/6)>0
이다. 한 구간에서 정의역을 잡으면 -π/6<x<5π/6이고, 연쇄법칙을 적용한 미분값은
g'(x)=cos(x+π/6)/sin(x+π/6)
이다. x=π/3을 대입하면 g'(π/3)=cos(π/2)/sin(π/2)=0이다. 경계가 달라져도 ‘로그의 진수 조건 확인 → 안쪽 함수 미분 → 대입 검산’의 순서를 지키면 cos(x+π/6)를 빠뜨리지 않게 된다.