금천구고1수학과외: 완전제곱식과 비슷한 식의 상수항 판별
금천고등학교, 독산고등학교, 문일고등학교 등 금천구의 고등학교에 진학하면 통학과 과제가 겹치는 시간에도 인수분해 문제의 조건을 빠르게 판별해야 한다. 특히 겉모양이 완전제곱식과 비슷하다는 이유만으로 바로 공식을 적용하면 상수항에서 오류가 생긴다.
부호와 가운데항은 맞지만 상수항이 다르다
예를 들어 다음 식을 보자.
x²+10x+21
가운데항 10x를 보면 2×5×x와 같으므로 (x+5)²를 떠올리기 쉽다. 그러나 (x+5)²을 전개하면
(x+5)²=x²+10x+25
가 된다. 원래 식의 상수항은 21이므로 두 식은 같지 않다. 따라서 이 식은 완전제곱식이 아니다. 실제 인수분해는 곱이 21이고 합이 10인 두 수 3, 7을 찾아 (x+3)(x+7)로 정리해야 한다.
답을 계산하기 전에 빠진 판별
관찰된 풀이에서는 학생이 식을 보자마자 (x+5)²을 적고 다음 계산으로 넘어갔다. 완전제곱식인지 확인하는 절차가 답안에 없었고, 가운데항의 계수만 맞는다는 점을 상수항까지 맞는다는 뜻으로 처리한 것이다.
완전제곱식 x²+2ax+a²에서는 가운데항의 계수가 2a일 뿐 아니라 마지막 항이 반드시 a²이어야 한다. 따라서 x²+10x+21을 만났을 때는 a=5를 정한 뒤 상수항을 5²=25와 비교해야 한다. 21≠25이므로 완전제곱식 판정을 즉시 멈추고 다른 인수분해 방법으로 넘어간다.
식 옆에 남기는 짧은 판정표
- x²의 계수: 1
- 가운데항: 10x=2×5×x
- 필요한 상수항: 5²=25
- 실제 상수항: 21
- 판정: 완전제곱식 아님
이 표시는 계산을 길게 늘리는 절차가 아니다. 식을 본 직후 가운데항에서 정한 수를 제곱해 실제 상수항과 대조하는 행동이다. 그 결과 완전제곱식이 아니면 (x+5)²을 억지로 사용하지 않고, 곱과 합 조건으로 3과 7을 찾는다.
x²+10x+21에서 5는 가운데항을 설명하는 수이지만, 상수항 21을 설명하지 못하므로 완전제곱식의 수가 될 수 없다.
새 수치에서 첫 줄을 확인하는지 보기
훈련 문항으로 y²-14y+45를 제시할 수 있다. 학생이 먼저 2a=-14에서 a=-7을 구한 뒤 a²=49와 실제 상수항 45를 비교하면 완전제곱식이 아님을 판단할 수 있다. 이후 곱이 45이고 합이 -14인 -5와 -9를 찾아 (y-5)(y-9)로 인수분해한다.
일주일 뒤에는 같은 식을 반복하지 않고, 조건과 표시 방식이 달라진 도형 문항에서 확인한다. 그림의 위치가 바뀌어도 길이, 각, 평행 조건을 직접 표시하고 필요한 성질을 고르는지 살핀다. 식에서는 상수항을 대조하고 도형에서는 주어진 조건을 표시하는 것처럼, 눈에 익은 모양만 보고 결론을 내리지 않는 행동이 이어지는지가 기준이다. 복습 종료 시점도 풀이를 끝낸 뒤 학생이 스스로 결정하도록 기록한다.