권선구 고2수학과외, 음수·분수 공비의 부호를 먼저 판별하는 등비수열 풀이
곡반정동이나 권선동에서 학교 수업과 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 자습 시간에는 긴 문제를 많이 풀기보다, 한 식에서 공비의 의미를 끝까지 유지하는 연습이 필요하다. 권선고등학교, 수원칠보고등학교, 영신여자고등학교 등 학교별 진도와 문제 형태는 다를 수 있지만, 등비수열에서는 공비가 음수인지 분수인지에 따라 항의 부호와 크기가 함께 달라진다는 판단이 공통으로 요구된다.
공비가 -1/2이면 항의 부호와 크기가 동시에 바뀐다
등비수열의 일반항은
an = a1rn-1
이다. 여기서 r은 공비다. 공비가 음수이면 인접한 항마다 부호가 바뀌고, |r|이 1보다 작으면 절댓값은 점점 작아진다.
예를 들어 a1=16, r=-1/2인 수열은
16, -8, 4, -2, 1, …
이다. 따라서
a4=16(-1/2)3=16(-1/8)=-2
가 된다. 공비의 분수 부분만 사용해 2라고 적으면 크기는 일부 반영했지만 음수 공비가 만드는 부호 교대를 놓친 것이다.
공비를 구하기 전에 항의 비가 같은지 확인하기
문제에서 a2=-6, a5=3/4라고 주어졌다면 항번호 차이가 3이므로
a5=a2r3
를 사용한다. 따라서
3/4=(-6)r3, r3=-1/8, r=-1/2
이다. a5가 양수인 이유도 a2가 음수이고 음수 공비를 세 번 곱했기 때문이라고 설명할 수 있다. 항번호 차이를 무시하고 r=(3/4)-(-6)처럼 계산하는 것은 등비수열의 곱셈 관계와 맞지 않는다.
풀이 중 공비 조건을 적지 않고 바로 양수인 공비처럼 계산하면, 처음 몇 항에서는 숫자의 크기만 그럴듯하게 보일 수 있다. 그러나 r=-1/2일 때 an+1의 부호는 an과 반대여야 하므로 모든 항을 양수로 적은 답안은 수열의 조건을 만족하지 않는다.
부호표를 한 줄 남겨서 오답을 끊기
다음 문제를 풀 때는 일반항을 쓰기 전에 공비의 상태를 답안에 표시한다.
a1=24, r=-1/3일 때 a5를 구하여라.
먼저
r=-1/3 < 0, |r|=1/3<1
이라고 적는다. 그러면 네 번 곱하므로 부호는 양수이고 절댓값은 작아진다.
a5=24(-1/3)4=24/81=8/27
이처럼 지수 n-1이 홀수인지 짝수인지 확인하면 부호를 빠뜨리기 어렵다. 특히 음수 공비에서는 (-1/3)4=1/81이지만 (-1/3)3=-1/27이라는 차이를 중간식에 남겨야 한다.
숫자만 바꾼 문항에서 부호 교대를 다시 확인하기
앞선 계산의 24를 18로 바꾼 미니문항을 제시한다.
a1=18, r=-1/3일 때 a4를 구하여라.
답안에는 다음 세 부분이 이어져야 한다.
- r=-1/3이므로 항의 부호가 번갈아 바뀐다.
- a4=18(-1/3)3
- a4=18(-1/27)=-2/3
마지막 문항에서는 중간 계산 일부를 비워 두고 다음을 완성하게 한다.
a1=-12, r=-1/2일 때 a5=-12(____)4=____.
공비를 그대로 넣어 -12(-1/2)4라고 복원하고, 네 번의 곱으로 부호가 다시 음수가 된다는 점까지 확인하면 된다. 정답은 -3/4이다. 새로운 첫째항과 항번호에서도 공비의 음수 여부, 지수의 홀짝, 절댓값의 변화를 순서대로 복원하는지가 등비수열 적용의 기준이 된다.