권선구고1수학과외: 평행이동과 대칭이동의 순서 비교
권선고, 수원칠보·영신여고·호매실고 등 학교 프린트에서 도형의 이동을 다룰 때는 최종 좌표만 맞히는 것보다 이동 순서를 식으로 구분하는 과정이 중요하다. 권선동이나 곡반정동에서 귀가한 뒤 확보한 짧은 자습시간에도 한 점의 이동 경로를 직접 적어 보면 순서에 따른 차이를 확인할 수 있다.
식의 부호부터 바꾼 오답
점 A(1, 3)을 평행이동 (x, y) → (x+2, y-1)한 뒤 x축 대칭하라는 문제를 살펴보자. 학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
A(1, 3) → (1-2, 3+1) → (-1, 4)
이 식은 평행이동의 방향을 반대로 바꾼 데다 대칭이동의 결과도 적용하지 않은 상태다. 학생은 점의 대응 관계를 먼저 쓰지 않고, 식의 부호부터 바꾼 뒤 다음 줄로 넘어갔다. 따라서 현재 상태는 각 이동의 공식 일부는 보았지만, “어떤 변환을 먼저 실행하는가”라는 기준이 아직 안정되지 않은 경우다.
두 변환을 좌표에 차례로 적용하기
평행이동을 T(x,y)=(x+2,y-1), x축 대칭을 R(x,y)=(x,-y)라고 하자. A에 평행이동을 먼저 적용하면
T(1,3)=(3,2)
그 결과를 다시 x축 대칭하면
R(T(1,3))=R(3,2)=(3,-2)
따라서 평행이동 후 대칭이동한 A의 최종 위치는 (3,-2)이다. 같은 방식으로 B(-2,1)은
T(-2,1)=(0,0), R(0,0)=(0,0)
이 된다. 점을 한 쌍씩 적으면 A는 (1,3)에서 (3,2)를 거쳐 (3,-2)로, B는 (-2,1)에서 (0,0)를 거쳐 (0,0)로 이동한다. 이 중간 좌표가 있어야 어느 단계에서 부호가 바뀌었는지 확인할 수 있다.
순서를 뒤집으면 같은 도형인가
이번에는 대칭이동을 먼저 하고 평행이동해 보자.
R(1,3)=(1,-3)이므로
T(R(1,3))=T(1,-3)=(3,-4)이다. B는
R(-2,1)=(-2,-1), T(-2,-1)=(0,-2)
가 된다. 즉 A의 결과가 (3,-2)와 (3,-4)로 달라지고, B의 결과도 (0,0)과 (0,-2)로 달라진다. 평행이동과 x축 대칭은 이 사례에서 교환되지 않는다.
식으로도 차이를 볼 수 있다.
R(T(x,y))=R(x+2,y-1)=(x+2,-y+1)
T(R(x,y))=T(x,-y)=(x+2,-y-1)
두 식의 y좌표가 각각 -y+1, -y-1이므로 서로 다른 변환임을 알 수 있다. 풀이를 시작하기 전에 “먼저 수행할 변환”을 문장으로 말하고, 각 점에 중간 좌표를 붙이는 훈련이 필요한 이유다.
작도 순서를 말로 확인하는 연습
답안에 바로 최종 좌표를 쓰지 않고 다음처럼 설명하게 한다.
- “먼저 모든 점의 x좌표에 2를 더하고 y좌표에서 1을 뺀다.”
- “그 결과 좌표에서 x축 대칭을 하므로 y좌표의 부호만 바꾼다.”
- “A(1,3)은 (3,2)를 거쳐 (3,-2)가 된다.”
이 설명 뒤에 계산을 진행하면 평행이동의 +2, -1을 임의로 뒤집는 행동이 줄어든다. 권선구의 학교 수행평가와 지필평가에서 같은 이동 개념이 작도와 좌표 계산으로 다르게 제시될 때도, 말로 순서를 고정한 뒤 점의 위치를 표시하면 두 표현을 연결할 수 있다.
좌표 순서가 바뀐 검증 문제
검증에서는 순서를 섞어 제시한다. 점 P(-1,4)를 먼저 직선 y=x에 대칭이동한 뒤 평행이동 (x,y)→(x-3,y+2)하라고 하자.
y=x 대칭은 좌표를 (x,y)→(y,x)로 바꾸므로
P(-1,4)→(4,-1)
이고, 이어서 평행이동하면
(4-3,-1+2)=(1,1)
이다. 이때 학생이 x와 y를 먼저 확인해 (4,-1)을 만들었는지, 이동 순서를 말로 설명했는지 살핀다. 마지막으로 (1,1)을 y=x에 대칭시키면 그대로 (1,1)이지만, 이는 검산 조건일 뿐 원래 순서를 바꾸어도 항상 결과가 같다는 뜻은 아니다.
새 문제에서 중간 좌표와 최종 좌표를 모두 적고, 점의 위치를 이용해 계산을 되짚었다면 순서 비교를 독립적으로 적용한 것으로 볼 수 있다.