세류동 통학권 고3 수학과외에서 다룬 신뢰구간의 폭 검증
세류동 생활권에서 권선구 내 통학권 학교를 다니는 고3 학생은 평일 귀가 시간과 학교별 시험 범위를 함께 고려해 확률과 통계 오답을 정리했다. 이번에는 표본크기, 신뢰수준, 허용오차가 바뀔 때 신뢰구간의 폭이 어떻게 달라지는지 확인했다.
표본비율의 신뢰구간을 먼저 구조화하기
어떤 정책에 찬성한 학생의 표본비율이 p̂=0.64, 표본크기가 n=400일 때 95% 신뢰구간을 구한다고 하자. 모비율의 신뢰구간은
p̂ ± zα/2√{p̂(1-p̂)/n}
이다. 95% 신뢰수준에서는 zα/2=1.96이므로 오차한계는
1.96√{0.64×0.36/400}=1.96×0.024=0.04704
이다. 따라서 신뢰구간은
0.64-0.04704 ≤ p ≤ 0.64+0.04704
즉, 0.59296 ≤ p ≤ 0.68704이다. 구간폭은 약 0.09408이다.
학생이 적은 오답과 조건 확인
95% 구간폭 = 2×1.96×√{0.64×0.36/400} = 0.04704
이 식은 오답이다. 0.04704는 평균에서 한쪽 끝까지의 오차한계이고, 구간폭은 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝까지의 길이이므로 오차한계의 두 배인 0.09408이어야 한다.
또 학생은 90% 신뢰구간이 95% 신뢰구간보다 넓다고 적었다.
90% 구간폭 > 95% 구간폭
이 역시 오답이다. 표본자료와 표본크기가 같으면 90%의 임계값 1.645가 95%의 1.96보다 작으므로 90% 구간이 더 좁다. 신뢰수준을 높이면 더 넓은 범위를 확보해야 하므로 구간폭은 커진다.
틀린 줄을 나란히 고쳐 검산하기
- 틀린 식: 95% 구간폭 = 1.96√{p̂(1-p̂)/n}
- 수정 식: 95% 구간폭 = 2×1.96√{p̂(1-p̂)/n}
- 조건 확인: p̂는 표본비율, n은 표본크기이며 양 끝 경계를 구하므로 앞에 2가 필요하다.
학생은 수직선에 0.59296과 0.68704를 표시한 뒤 두 값의 차를 계산했다.
0.68704-0.59296=0.09408
이후 95% 구간의 양 끝에 오차한계 0.04704를 더하고 빼서 다시 평균 0.64가 나오는지 확인했다.
0.59296+0.04704=0.64, 0.68704-0.04704=0.64
새 조건으로 독립 검증하기
이번에는 표본비율이 아니라 표본평균을 사용한다. 어떤 모평균을 추정하기 위해 표본평균이 72, 표본표준편차가 10, 표본크기가 100인 자료에서 90% 신뢰구간을 구하자. 90% 신뢰수준의 임계값을 1.645로 두면 오차한계는
1.645×10/√100=1.645
따라서 신뢰구간은 70.355 ≤ μ ≤ 73.645, 구간폭은
73.645-70.355=3.29
이다. 같은 표본에서 95% 신뢰구간을 사용하면 오차한계는 1.96×10/10=1.96, 구간폭은 3.92가 된다. 95% 구간폭이 90%보다 크므로, 학생은 신뢰수준과 구간폭의 방향을 올바르게 확인했다.