세류동고2수학과외

세류동고2수학과외: 등비수열의 합에서 r=1을 먼저 가려내는 풀이

세류동에서 권선구 통학권 학교의 학교 프린트와 지필평가 범위를 함께 정리할 때, 등비수열의 합은 항의 모양보다 항번호와 공비를 먼저 읽는 습관이 중요하다. 특히 계수와 부호가 달라진 변형식에서는 익숙한 공식을 바로 대입하면 예외 상황을 놓치기 쉽다.

분모가 0이 된 지점에서 풀이를 멈추기

다음 등비수열의 첫째항과 공비가 주어졌다.

a₁=4, r=1일 때 S₇을 구하여라.

학생의 오답은 다음과 같았다.

S₇=a₁(1-r⁷)/(1-r) =4(1-1⁷)/(1-1)=0/0

이 계산은 답이 0이라는 뜻이 아니다. 해당 공식은 r≠1일 때만 사용할 수 있으므로 r=1인 순간 분모가 0이 된다. 이 지점에서 처음 식으로 되돌아갈 것이 아니라, 오류가 시작된 공식 선택 부분부터 이어서 판단해야 한다.

공비가 1이면 모든 항이 4이므로

4, 4, 4, 4, 4, 4, 4

이고, 항이 7개이므로

S₇=7×4=28

부분합에서는 항의 개수를 식에 남긴다

등비수열의 합은 공비가 1인지 먼저 확인한 뒤 다음처럼 나눈다.

r≠1이면 S_n=a₁(1-rⁿ)/(1-r)

r=1이면 S_n=na₁

따라서 문제에서 항의 일부가 생략되어 있거나 순서가 섞여 있어도, 먼저 첫째항과 마지막 항이 몇 번째 항인지 표시해야 한다. 예를 들어

−3, 6, −12, 24, −48

은 공비가 −2이고 항이 5개인 등비수열이다. 이때

S₅=−3(1−(−2)⁵)/(1−(−2)) =−3(1+32)/3 =−33

처럼 공비와 항번호를 확인해야 한다. 부호가 바뀌었다고 해서 항의 개수를 생략하거나, 첫째항을 계수와 혼동하면 안 된다.

섞인 항에서도 r=1과 항번호를 찾아내기

다음 식의 합을 보자.

5+5+5+5+5+5

항의 순서를 바꾸어 제시해도 각 항이 같으므로 공비는 r=1이다. 항은 6개이므로 일반 공식의 분모를 계산하지 않고

S₆=6×5=30

으로 처리한다. 답안에는 “r=1이므로 S_n=na₁”이라고 근거를 남기고, 항의 개수가 6개라는 표시도 함께 적는다. 이 두 기록이 있어야 계산 결과가 우연히 맞은 것인지 확인할 수 있다.

세류현대아파트 생활권에서 귀가 후 학교별 시험 범위가 달라지더라도, 풀이 점검은 길게 처음부터 다시 쓰는 방식보다 분모가 0이 된 공식 선택 지점에 표시를 하고 그 줄부터 수정하는 방식으로 진행한다. 이후 계수와 부호가 바뀐 식을 제시했을 때도 먼저 r=1 여부 → 항번호 → 사용할 합 공식의 순서를 스스로 남기는지 확인한다.