서둔동중3수학과외, 자료가 바뀌어도 평균을 근거로 검산하는 연습
학생은 자료 5개의 평균을 구하는 문제에서 계산 결과 18을 적고도 어디에서 나온 값인지 설명하지 못했다. 원자료가 12, 15, 17, 20, 26일 때 합은 90, 자료의 개수는 5이므로 평균은 18이다. 답 자체는 맞았지만, 이후 26이 16으로 바뀐 문제에서는 앞의 평균 18에서 10을 빼야 한다는 사실을 놓치고 새로 계산한 합을 자료 개수 6으로 나누었다.
평균을 구하는 식보다 먼저 확인할 자료의 변화
중3 통계에서 자료가 바뀌었을 때 필요한 첫 행동은 전체 자료를 다시 바라보는 것이 아니라 무엇이, 몇 개 바뀌었는지 표시하는 일이다. 26이 16으로 바뀌면 자료의 합은 10만큼 감소한다. 자료의 개수는 그대로 5개이므로 새 합은 90-10=80, 새 평균은 80÷5=16이다.
학생은 처음에 ‘큰 수가 줄었으니 평균도 줄어든다’고 말했지만, 그 말만으로는 답을 검산할 수 없다. 평균의 정의를 식으로 연결해야 한다.
평균 = 자료의 총합 ÷ 자료의 개수
따라서 한 자료만 바뀌고 자료 개수가 유지되면 총합의 변화량을 기존 평균에 반영할 수 있다. 새 평균은 기존 평균 + (바뀐 자료의 변화량 ÷ 자료의 개수)로 확인한다. 이 문제에서는 18+((-10)÷5)=16이다.
학생이 놓친 것은 계산보다 자료 개수였다
다른 문항에서 학생은 8, 11, 14, 17의 평균이 12.5임을 구한 뒤, 11을 21로 바꾼 상황에서 변화량 10을 그대로 더해 22.5라고 적었다. 자료가 4개이므로 평균의 증가량은 10이 아니라 10÷4=2.5이다. 새 평균은 15가 된다.
이때 풀이를 통째로 다시 외우게 하지 않고, 학생이 답안에 세 줄을 직접 쓰도록 했다.
- 바뀐 자료: 11→21, 변화량: +10
- 자료의 개수: 4개
- 새 평균: 12.5+10÷4=15
그 뒤 원자료의 합을 이용해 8+21+14+17=60, 60÷4=15로 역검산했다. 변화량을 평균에 바로 더하는 오류와 자료 개수를 빠뜨리는 오류를 한 번에 구분할 수 있었다.
서호중학교 일정 안에서 풀이 근거를 남기는 방식
서둔동에서는 서호중학교가 지역 내 중학교 자료로 확인되며, 고색중학교·곡반중학교·곡선중학교·구운중학교는 같은 권선구의 통학권 참고 학교로 구분해 보아야 한다. 학교별 시험 범위나 수행평가 날짜를 확인하지 않은 상태에서 특정 학교의 출제 경향을 단정할 수는 없다. 대신 실제 학습 계획은 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 놓고 조정하는 편이 적절하다.
예를 들어 귀가가 늦은 날에는 새로운 유형을 많이 풀기보다, 학교 프린트의 평균 문제 한 문항을 골라 ‘자료 개수 확인→변화량 표시→새 평균 계산→원자료로 검산’의 네 칸을 채운다. 시간이 더 있는 날에는 평균이 먼저 주어진 역문제를 다룬다. 자료 6개의 평균이 14일 때 총합은 84이다. 여기에 20을 추가하면 자료는 7개, 총합은 104가 되어 새 평균은 104÷7이다. 여기서는 자료 개수가 달라졌으므로 기존 평균에 단순히 변화량을 나누어 더할 수 없다.
자료 하나가 추가되는 문제에서 풀이를 바꿔야 하는 이유
학생은 ‘20이 추가되었으니 평균은 14와 20의 중간인 17’이라고 판단했다. 그러나 기존 여섯 자료의 합과 새 자료를 합친 뒤 전체 개수 7로 나누어야 한다. 104÷7은 17이 아니며, 평균은 약 14.86이다. 계산기를 사용하지 않아도 20을 하나 더했을 뿐 기존 자료 여섯 개의 평균이 14였으므로 평균이 14와 20 사이에 있어야 한다는 점으로 결과를 확인할 수 있다.
이 장면에서 수정 행동은 ‘평균 문제는 합을 먼저 구한다’는 암기가 아니었다. 학생은 자료가 교체된 것인지, 추가된 것인지, 삭제된 것인지 문제 문장에 표시하고, 그에 맞춰 분모가 유지되는지 바뀌는지를 먼저 적었다. 분모가 유지되면 변화량을 개수로 나누고, 분모가 바뀌면 총합과 개수를 새로 계산한다.
숫자와 문장이 바뀐 뒤에도 같은 근거를 꺼내는가
마지막에는 도움 없이 다음 상황을 풀게 했다. 자료 7개의 평균이 16이고, 그중 13을 27로 잘못 기록했다. 올바른 평균을 구하려면 기존 합 7×16=112에서 잘못 기록한 27을 빼고 실제 값 13을 더한다. 올바른 합은 112-27+13=98, 평균은 98÷7=14이다.
학생은 처음에는 27-13=14를 구한 뒤 평균도 14라고 적으려 했지만, ‘14는 총합의 감소량이고 평균은 아니다’라고 스스로 고쳤다. 이어 98÷7=14를 계산하고, 실제 값이 기록값보다 작아졌으므로 평균 16보다 낮아져야 한다는 방향 검산까지 덧붙였다.
자료와 평균 단원에서 독립적으로 적용했다는 판단은 문제집의 정답 수가 아니라, 자료의 변화 종류와 분모를 먼저 판별하고 그 이유를 식으로 남기는지로 확인할 수 있다. 서둔동중3수학과외에서도 이 과정을 기준으로 학교 일정에 맞는 문항을 골라, 맞힌 답 뒤에 총합·자료 개수·변화량 검산이 남도록 지도한다.