구운동고3수학과외

구운동 고3 수학과외: 허용오차 변화로 표본크기 다시 판단하기

구운동에서 귀가 후 과제와 시험 준비를 함께 점검하는 고3 학생은 통계 추정 문제에서 계산보다 조건의 관계를 놓치고 있었다. 권선구 통학권 참고 학교의 설문 자료를 해석할 때도 표본크기, 신뢰수준, 허용오차를 한 식에 연결해야 했다.

허용오차와 표본크기의 관계

모비율을 추정할 때 신뢰수준 95%의 표본오차가 허용오차 E 이하가 되려면, 사전 정보가 없을 때 p=0.5를 사용하여

n ≥ z_0.025²p(1-p) / E²

로 계산한다. 95% 신뢰수준에서는 z_0.025=1.96이므로, 허용오차가 4%인 경우

n ≥ (1.96)²×0.5×0.5÷(0.04)²
= 3.8416×0.25÷0.0016
= 600.25

따라서 표본크기는 올림하여 601명 이상이어야 한다.

학생의 오답과 수정 과정

“허용오차가 절반인 2%가 되었으므로 표본크기도 601×2=1202명으로 잡는다.”

이 식은 오답이다. 표본크기는 허용오차 E에 반비례하는 것이 아니라 1/E²에 비례한다. 허용오차를 절반으로 줄이면 분모의 제곱이 1/4이 되므로 표본크기는 2배가 아니라 4배가 필요하다.

학생은 먼저 틀린 줄에 표시하고, 네모칸에 E=0.02, p(1-p)=0.25, z=1.96을 다시 적었다. 이후 원래 식에 대입하여

n ≥ (1.96)²×0.25÷(0.02)²
= 0.9604÷0.0004
= 2401

을 얻었다. 기존 답 1202를 식에 다시 대입하면

1.96√(0.25÷1202) ≈ 0.0283

이므로 실제 허용오차가 약 2.83%가 되어 조건을 만족하지 못한다. 반면 n=2401을 대입하면

1.96√(0.25÷2401)=0.02

가 되어 허용오차 조건을 정확히 만족한다. 그래프를 그릴 때도 이전 모양을 복사하지 않고, n이 커질수록 오차가 감소하며 E가 절반이면 필요한 n이 네 배가 되는 관계를 새로 표시했다.

조건을 바꾼 독립 검증

이번에는 평균 추정 문제로 바꾸어 확인했다. 모집단 표준편차가 σ=12, 신뢰수준 95%, 평균의 허용오차가 3점이면

n ≥ (1.96×12÷3)²
= 7.84²
= 61.4656

이므로 필요한 표본크기는 62명이다. 허용오차를 1.5점으로 바꾸면

n ≥ (1.96×12÷1.5)²
= 15.68²
= 245.8624

따라서 246명이 필요하다. 62명의 네 배에 가까운 값이므로, 비율 추정에서 확인한 ‘허용오차가 절반이면 표본크기는 네 배’라는 원리를 평균 추정에서도 다시 검증할 수 있다.

이처럼 시험 준비 순서를 정할 때도 계산 결과만 적지 않고, 허용오차와 표본크기의 제곱 관계를 네모칸에 남긴 뒤 원식에 대입하여 조건을 확인하는 습관이 중요하다.