구운동고2수학과외

구운동 고2수학과외에서 등비수열의 부호를 끝까지 추적하는 연습

공비가 음수이거나 분수인 등비수열에서는 공식을 알고 있어도 항의 부호와 항번호를 함께 기록하지 않으면 풀이가 쉽게 끊긴다. 구운동 생활권에서 귀가 후 과제를 점검할 때도 답만 맞는지보다 항번호와 부분합이 남아 있는지를 먼저 확인해야 한다.

공비 -1/2에서 부호가 바뀌는 순간

첫째항이 6이고 공비가 $\frac{-1}{2}$인 등비수열의 네 번째 항과 첫 네 항의 합을 구해 보자.

$a_{\mathrm{n}}=6·{(-\frac{1}{2})}^{n-1}$

따라서

$a_1=6,a_2=-3,a_3=\frac{3}{2},a_4=-\frac{3}{4}$

첫 네 항의 합은

$S_4=6-3+\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{15}{4}$

답안에는 $a_4=\frac{3}{4}$처럼 부호를 빠뜨린 흔적이 있었다. 이는 공비의 절댓값만 네 번 곱한 것이므로 틀리다. 네 번째 항은 공비를 세 번 곱하므로 ${(-\frac{1}{2})}^3$의 음수 부호를 유지해야 한다.

부분합을 쓰기 전에 항번호를 고정하기

풀이가 중간에서 흔들리지 않도록 공비를 대입하기 전에 항번호를 표시한다.

$a_4=a_1{r}^3,S_4=a_1\frac{1-r^4}{1-r}$

이후 답안에서 각 항의 부호를 순서대로 확인하고, 부분합은 실제 항을 한 번 덧셈해 공식의 결과와 대조한다. 오류가 $a_4$를 계산하는 단계에서 시작되었다면 풀이 전체를 지우지 않고 그 줄부터 부호를 고쳐 $S_4$를 다시 계산한다.

첫째항과 공비가 함께 바뀐 문제에서 순서 재구성하기

다음 문제에서는 두 조건을 바꾼다. 첫째항이 8이고 공비가 $-\frac{1}{3}$인 등비수열의 다섯 번째 항과 첫 다섯 항의 합을 구한다.

$a_5=8{(-\frac{1}{3})}^4=\frac{8}{81}$

$S_5=8\frac{1-{(-\frac{1}{3})}^5}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{488}{81}$

새 조건에서도 먼저 $a_{\mathrm{n}}=a_1{r}^{n-1}$을 세우고, 항번호를 지수로 바꾼 뒤, 마지막에 부분합을 계산하는 순서를 스스로 재구성하는지 확인한다. 구운동의 학교 통학권 과제에서도 이 두 줄이 남아 있다면 음수·분수 공비 문제를 표현이 달라져도 이어서 적용한 것으로 판단할 수 있다.