표본오차를 결정하는 순간부터 다시 확인한 곡반정동 고3 수학과외
곡반정동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 권선구의 권선고등학교·수원칠보고등학교·영신여자고등학교·호매실고등학교·고색고등학교 등 통학권 학생의 주간 학습 일정에 맞춰 풀이 과정을 점검했다. 이 학생은 시험지를 고칠 때 맞는 중간식까지 지워 버리고 마지막 답만 다시 계산하는 습관이 있었다.
√n과 n을 바꿔 쓴 첫 번째 줄
모평균의 신뢰구간을 구하는 문제에서 모집단의 표준편차가 σ=12, 표본평균이 68, 표본크기가 n=36이고 95% 신뢰구간의 임계값을 1.96으로 두었다.
표준오차 = σ/n = 12/36 = 1/3
오차한계 = 1.96×1/3 = 0.6533
위 계산은 오답이다. 표본평균의 표준오차는 σ/√n이므로, 표본크기 36을 그대로 나누면 안 된다. 학생은 √n과 n을 구분하지 못해 첫 줄에서 이미 표본오차를 실제보다 6배 작게 만들었다.
정확한 계산은 다음과 같다.
√n=√36=6
표준오차 = σ/√n = 12/6 = 2
오차한계 = 1.96×2 = 3.92
95% 신뢰구간 = 68±3.92 = [64.08, 71.92]
첫 불일치를 표시하고 원관계를 역검산하기
학생은 틀린 답 전체를 지우지 않고 다음처럼 첫 오류에 밑줄을 그었다.
- 표본오차 = σ/n에 첫 표시
- 조건 화살표: n=36 → √n=6 → σ/√n
- 식 수정: 12/36을 12/6으로 교체
- 신뢰구간의 양끝에 오차한계 3.92를 대입
마지막에는 표준오차를 역으로 확인했다. 오차한계가 3.92이고 임계값이 1.96이므로 3.92÷1.96=2이다. 따라서 표준오차가 2로 돌아와 수정된 식과 일치한다. 원래 표본평균의 분산이 σ²/n이므로 표준오차가 σ/√n이어야 한다는 관계도 함께 적었다.
| 확인 항목 | 원식 | 변형식 |
|---|---|---|
| 분산 | σ²/n | 144/36=4 |
| 표준편차 | √(σ²/n) | √4=2 |
또한 표본크기를 4개라고 가정하면 표본평균의 표준오차가 12/2=6이 되고, 표본크기 36개에서는 12/6=2가 된다. 표본이 많아질수록 오차가 줄어드는 방향도 확인했다.
허용오차를 바꾼 독립 검증
새 조건으로 모집단 표준편차가 σ=15, 표본크기가 n=25, 표본평균이 42, 90% 신뢰구간의 임계값이 1.645이고 허용오차를 바꾸어 확인했다.
표준오차 = 15/√25 = 15/5 = 3
오차한계 = 1.645×3 = 4.935
신뢰구간 = 42±4.935 = [37.065, 46.935]
검산으로 4.935÷1.645=3을 계산해 표준오차와 일치시켰다. 만약 잘못된 15/25를 사용하면 표준오차가 0.6이 되어 오차한계가 0.987로 지나치게 작아진다. 새 표본크기에서도 σ/n이 아니라 σ/√n이라는 조건을 끝까지 유지했는지 확인했다.