곡반정동고2수학과외, 음수·분수 공비를 계산 줄에서 확인하는 등비수열 풀이
등비수열에서는 공비의 크기만 보는 순간 오답이 생긴다. 특히 공비가 음수이면 항의 부호가 번갈아 바뀌고, 분수이면 항의 절댓값이 일정한 비율로 줄어든다. 곡반정동에는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 권선구 내 권선고등학교·수원칠보고등학교·영신여자고등학교·호매실고등학교·고색고등학교 등을 통학권 참고 대상으로 보되 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습 흐름을 기준으로 풀이를 점검한다.
공비를 -1/2로 읽고도 부호를 지운 계산
예를 들어 등비수열의 첫째항이 \(a_1=16\), 공비가 \(r=-\frac12\)일 때 다섯째항을 구해 보자.
\[ a_n=a_1r^{n-1} \] \[ a_5=16\left(-\frac12\right)^4 =16\cdot\frac1{16}=1 \]
풀이 여백에는 다음과 같은 잘못된 계산이 나타날 수 있다.
\[ 16\to 8\to 4\to 2\to 1 \]
다섯째항의 값만 우연히 맞더라도 이 줄은 공비 \(-\frac12\)의 부호 변화를 반영하지 않았다. 실제 항은
\[ 16,\ -8,\ 4,\ -2,\ 1 \]
이다. 음수 공비에서는 곱셈할 때마다 부호가 바뀌며, 분수 공비의 절댓값 \(\frac12\)는 항의 크기만 절반으로 만든다. 따라서 부호와 비율을 하나의 곱셈 규칙으로 기록해야 한다.
항을 한 줄씩 만들 때 공비의 두 역할을 분리하지 않기
학생이 \(16\)에서 \(8\), \(8\)에서 \(4\)처럼 양수만 이어 썼다면 공비를 \(\frac12\)로 바꾸어 읽은 셈이다. 이를 고칠 때는 계산 전에 다음 규칙을 적는다.
\[ \text{다음 항}=\text{현재 항}\times\left(-\frac12\right) \]
그 뒤 같은 줄에 직접 적용한다.
\[ 16\left(-\frac12\right)=-8,\quad -8\left(-\frac12\right)=4,\quad 4\left(-\frac12\right)=-2 \]
이 방식은 ‘부호를 따로 기억하라’는 설명보다 계산 과정에서 오류가 발생한 위치를 확인하게 한다. 또 \(a_5\)를 공식으로 계산할 때도 지수의 짝수 여부를 확인할 수 있다. \(\left(-\frac12\right)^4\)는 양수이고, \(a_4=16\left(-\frac12\right)^3=-2\)는 음수여야 한다.
식으로 바꾼 문항에서 처음부터 조건 세우기
다음 문항으로 계산 방식을 바꿔 확인한다.
\[ a_1=-12,\qquad r=-\frac13 \] 일 때 \(a_4\)를 구하여라.
먼저 항을 직접 만들면
\[ a_2=(-12)\left(-\frac13\right)=4, \quad a_3=4\left(-\frac13\right)=-\frac43, \quad a_4=-\frac43\left(-\frac13\right)=\frac49 \]
공식으로도
\[ a_4=-12\left(-\frac13\right)^3 =-12\left(-\frac1{27}\right) =\frac49 \]
처음부터 \(a_1=-12\), \(r=-\frac13\), \(n-1=3\)을 적고 시작했다면 음수 공비와 음의 첫째항이 서로 어떻게 작용하는지 확인할 수 있다. 새로운 식에서는 이전 문제의 항을 외우지 않고, 첫째항·공비·항번호를 다시 세우는지가 관찰 기준이다.