조건부확률에서 첫 줄을 바로잡는 풀이
군포고등학교, 군포중앙고등학교, 용호고등학교, 수리고등학교, 산본고등학교 등 학교별 내신 일정과 주간 학습량이 다른 만큼, 확률 문제도 답만 맞히기보다 표본공간과 사건의 관계를 먼저 확인해야 한다. 군포고3수학과외에서는 학생이 지운 풀이 전체보다 최초 오류가 발생한 줄을 찾아 복기하도록 지도한다.
표본공간을 잘못 잡은 첫 줄
주머니에 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 있다. 공을 한 개 꺼낸 뒤 돌려놓지 않고 다시 한 개를 꺼낼 때, 첫 번째 공이 빨간색이라는 조건에서 두 공이 모두 빨간색일 확률을 구하는 문제를 풀었다.
학생의 오답은 다음과 같았다.
전체 경우의 수는 5×5=25이고, 빨간 공 두 개를 뽑는 경우는 3×3=9이다.
따라서 확률은 9/25이다.
오답의 최초 원인은 첫 줄이다. 공을 꺼낸 뒤 돌려놓지 않으므로 두 번째 추출 시 전체 공의 수가 5개로 유지되지 않는다. 또한 ‘첫 번째 공이 빨간색’이라는 조건이 있는 표본공간에서는 첫 번째 결과를 이미 빨간색으로 제한해야 한다.
조건을 표시하고 식을 다시 세우기
- □ 첫 번째 공이 빨간색인가? 조건을 통과하므로 표시한다.
- □ 첫 번째 빨간 공을 제외한 뒤 남은 공은 4개인가? 맞으므로 표시한다.
- □ 남은 빨간 공은 2개인가? 맞으므로 표시한다.
따라서 조건부확률은
P(두 공 모두 빨간색 | 첫 번째 공이 빨간색)=2/4=1/2
이다. 순서를 포함해 직접 확인하면 첫 번째가 빨간색인 경우의 확률은 3/5이고, 두 번 모두 빨간색인 경우의 확률은 (3/5)×(2/4)=3/10이다. 그러므로
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=(3/10)/(3/5)=1/2
로 같은 결과가 나온다. 학생은 틀린 첫 줄에 밑줄을 긋고, 조건 통과 여부를 체크한 뒤 남은 개수와 사건을 다시 적었다. 마지막에는 두 번째 공의 확률을 원조건에 대입해 1/2이 되는지 역검산했다.
독립과 종속을 바꾼 새 문제로 확인하기
이번에는 주사위를 두 번 던진다. 첫 번째 눈이 4 이상이라는 사건을 B, 두 눈의 합이 9 이상이라는 사건을 A라 하자. 두 번째 시행은 첫 번째 결과의 영향을 받지 않으므로 시행 자체는 독립이지만, A와 B라는 사건은 독립인지 직접 확인해야 한다.
P(B)=3/6=1/2이다. B가 일어났을 때 첫 번째 눈이 4, 5, 6이므로 합이 9 이상이 되려면 두 번째 눈은 각각 5·6, 4·5·6, 3·4·5·6이다. 따라서
P(A|B)=(2+3+4)/18=1/2
이다. 한편 P(A)=10/36=5/18이므로 P(A|B)≠P(A)이다. 따라서 A와 B는 독립이 아니다. 모든 결과를 같은 가능성으로 세기 전에 조건이 표본공간을 어떻게 바꾸는지 확인하는 것이 핵심이다.