군포고1수학과외 좌표 차이의 순서와 거리의 불변성
군포책마을에서 학교 프린트를 정리하거나 수리산역 인근에서 짧게 복습하는 학생이라면 좌표평면의 거리 문제를 계산 결과만 맞히고 넘어가기 쉽다. 그러나 서술형에서는 점의 순서를 바꾸어 좌표 차이를 구해도 거리가 같은 이유를 문장으로 설명해야 한다.
같은 두 점인데 차이의 부호가 달라지는 장면
두 점을 A(-2, 5), B(4, 1)이라 하자. A에서 B로 좌표 차이를 구하면
Δx = 4 - (-2) = 6, Δy = 1 - 5 = -4
따라서 거리는
AB = √(6² + (-4)²) = √52 = 2√13
그런데 학생의 서술형 답안에는 거리 계산만 있고, 점의 순서를 바꾼 경우를 확인한 흔적이 없었다. B에서 A로 계산하면
Δx = -2 - 4 = -6, Δy = 5 - 1 = 4
차이의 부호는 각각 반대가 되지만, 거리는 √((-6)² + 4²) = √52 = 2√13로 같다.
왜 순서를 바꾸어도 결과가 달라지지 않는가
두 점 P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂)의 거리는
PQ = √{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}
점의 순서를 바꾸면 차이는
x₁ - x₂ = -(x₂ - x₁), y₁ - y₂ = -(y₂ - y₁)
가 된다. 하지만 제곱하면 (-a)² = a²이므로 두 제곱값은 변하지 않는다. 따라서 학생은 “순서를 바꾸면 좌표 차이의 부호가 반대가 되지만, 거리 공식에서는 각 차이를 제곱하므로 결과가 같다”라고 적어야 한다. 계산 뒤에 이 관계를 한 문장으로 남기는 것이 서술형에서 필요한 확인이다.
계산을 이어 가기 전 답안에 남길 표시
- 가로 차이와 세로 차이를 각각 계산한다.
- 점의 순서를 바꾸면 두 차이의 부호가 모두 반대가 되는지 적는다.
- 각 차이를 제곱하므로 부호가 사라진다는 이유를 쓴다.
- 그 뒤 거리 식을 계산한다.
예를 들어 답안에는 “B에서 A로 바꾸면 Δx는 6에서 -6으로, Δy는 -4에서 4로 바뀐다. 그러나 제곱값은 같으므로 두 점 사이의 거리는 같다”라고 남길 수 있다. 여백에라도 이 확인을 표시한 뒤 다음 계산으로 넘어가도록 훈련한다.
부호를 바꾼 식을 발견했을 때의 점검
연립된 좌표 조건이나 거리 방정식에서 부호가 달라졌을 때에는 ‘이항’이라는 말만으로 처리하지 않는다. 예를 들어
x - 3 = 7
에서 양변에 3을 더해
x - 3 + 3 = 7 + 3
으로 만들었기 때문에 x = 10이 된다. 한쪽 항의 부호가 저절로 바뀐 것이 아니라, 양변에 같은 연산을 적용한 결과다. 좌표 차이에서도 마찬가지로 어느 점에서 어느 점으로 이동하는지 양쪽 좌표에 같은 순서를 적용했는지 확인해야 한다.
조건을 바꾼 문제에서 확인할 적용
훈련 뒤에는 점을 C(7, -3), D(-1, 5)로 바꾸고 D에서 C로, 다시 C에서 D로 거리를 계산하게 한다.
D에서 C로 계산하면 차이는 8, -8이므로 거리는 √(8² + (-8)²) = 8√2이다. 순서를 바꾸면 차이는 -8, 8이 되어도 거리 역시 8√2이다.
이때 답만 맞히는지 보지 않고, 학생이 “두 좌표 차이는 부호만 반대이고 제곱값은 같다”는 설명과 양변에 같은 연산을 적용했다는 점검을 스스로 적는지 확인한다. 이 기록이 남고 변형 문제에서도 같은 판단을 수행했다면 해당 항목은 복습 목록에서 제외한다.