산본동 고3수학과외에서 조건이 바뀔 때 확률의 기준 다시 세우기
산본동의 산본고등학교, 수리고등학교, 군포e비즈니스고등학교, 경기폴리텍고등학교 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간이 다를 수 있다. 그래서 수업에서는 정해진 진도만 따라가기보다 귀가 후 확보 가능한 시간에 맞춰 조건부확률 문제의 표본공간과 사건을 직접 다시 확인하게 한다. 같은 군포시의 용호고등학교는 참고 학교로 구분하며 산본동 소재 학교로 단정하지 않는다.
분모를 사건이 아니라 조건으로 정하기
학생에게 다음 문제를 제시했다.
1부터 8까지의 정수 중 하나를 임의로 고른다. 사건 A를 ‘짝수’, 사건 B를 ‘5보다 큰 수’라고 할 때, P(A|B)를 구하고 A와 B가 독립인지 판단하라.
먼저 표본공간은 S={1,2,3,4,5,6,7,8}이다. B가 일어난 뒤의 경우만 남기면
B={6,7,8}, A∩B={6,8}
이므로
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=(2/8)/(3/8)=2/3
이다. 독립 여부는 조건부확률만 보고 결정하지 않고,
P(A)=4/8=1/2, P(B)=3/8, P(A∩B)=2/8=1/4
를 비교한다. P(A)P(B)=3/16≠1/4이므로 두 사건은 독립이 아니다.
학생이 남긴 오답과 첫 판단의 수정
학생은 다음과 같이 적었다.
P(A|B)=2/8=1/4
이 식은 틀렸다. 2는 A와 B를 동시에 만족하는 수의 개수지만, 조건이 B로 제한된 뒤의 분모는 전체 8이 아니라 B의 원소 수 3이어야 한다. 따라서 올바른 식은 2/3이다.
또한 학생은 후보를 적은 뒤 B의 조건을 끝까지 검사하지 않고 1부터 8까지를 모두 조건부확률의 후보처럼 남겼다. 수업에서는 풀이 첫 줄에 □ 허용 범위: B={6,7,8}을 쓰고, 6·7·8을 각각 A에 대입해 6과 8만 남기는 방식으로 고쳤다.
틀린 줄부터 원식으로 검산하기
- 틀린 줄 표시: P(A|B)=2/8
- 조건 확인: ‘B가 일어났다고 가정’하므로 분모는 B의 크기 3
- 식 수정: P(A|B)=|A∩B|/|B|=2/3
- 대입 검산: P(A∩B)=1/4, P(B)=3/8이므로 (1/4)/(3/8)=2/3
이 과정을 통해 이전 문제의 분모를 기억해 재사용하는 대신, 새 문제의 표본공간과 조건 사건을 첫 줄부터 다시 세우도록 했다.
표본공간을 바꾼 독립성 검증
검증에서는 같은 문제를 반복하지 않고 표본공간을 바꾸었다.
2부터 11까지의 정수 중 하나를 임의로 고른다. A를 ‘짝수’, B를 ‘7보다 큰 수’라고 할 때 P(A|B)를 구하고 독립 여부를 판단하라.
새 표본공간은 S={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}로 10개이다. 따라서
B={8,9,10,11}, A∩B={8,10}
이고 P(A|B)=2/4=1/2이다. 또한 P(A)=5/10=1/2, P(B)=4/10=2/5, P(A∩B)=2/10=1/5이므로
P(A)P(B)=1/2×2/5=1/5=P(A∩B)
이다. 이번에는 두 사건이 독립이다. 학생이 이전 분모 8을 그대로 사용했다면 2/8이 되므로, 표본공간이 바뀌면 후보 범위와 분모를 첫 줄부터 새로 쓰고 마지막에 원래 확률식까지 대입해 확인해야 한다.