산본동고2수학과외, 사인법칙에서 조건과 대응을 끝까지 확인하는 풀이
사인법칙은 식을 기억하는 것보다 변과 그 맞은편 각을 정확히 연결하는 일이 먼저다. 산본고등학교와 수리고등학교처럼 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 다를 수 있고, 산본주택단지와 산본래미안아파트 생활권에서 귀가 후 풀이 시간이 제한될수록 첫 줄의 대응 관계를 놓치지 않는 습관이 중요하다.
a와 A가 맞은편이라는 사실부터 표시하기
삼각형 ABC에서 변 a, b, c가 각각 각 A, B, C의 맞은편 변이라면 사인법칙은 다음과 같다.
a/sin A = b/sin B = c/sin C
예를 들어 a=6, A=30°, B=45°일 때 b를 구하면, 먼저 주어진 값이 실제 삼각형의 대응 관계에 맞는지 확인한다. a는 A의 맞은편 변이고 b는 B의 맞은편 변이므로
a/sin A = b/sin B
에서
6/(1/2) = b/(√2/2)
이다. 따라서
b = 6 × (sin 45°)/(sin 30°) = 6 × (√2/2)/(1/2) = 6√2
가 된다. 여기서 계산 전에 a와 B를 서로 마주 보는 관계로 잘못 묶지 않도록 첫 줄에 비율을 남겨야 한다. a와 A, b와 B가 각각 맞은편 쌍이며, 값을 구할 때는 교차곱으로 a sin B = b sin A가 된다.
계수만 바뀌어도 삼각형 조건을 다시 적기
풀이 중 학생이 8/sin 40° = x/sin 70°를 바로 계산한 경우가 있었다. 식 자체는 한 변과 그 맞은편 각, 다른 변과 그 맞은편 각이 주어진 상황에서 사용할 수 있지만, 주어진 각이 삼각형의 내각인지와 나머지 각이 실제로 존재하는지는 확인해야 한다.
예를 들어 A=40°, B=70°, a=8이라면
C = 180° - 40° - 70° = 70°
이므로 삼각형 조건을 만족한다. 이때
b = 8 × sin 70°/sin 40°
이다. 반면 각을 A=40°, B=150°로 바꾸면 C는 -10°가 되어 삼각형이 만들어지지 않는다. 사인값을 계산할 수 있다는 이유만으로 사인법칙을 적용해서는 안 되는 사례다.
도 단위와 다른 표기를 만나도 대응표를 먼저 세우기
표기만 바뀐 문제에서는 다음 세 줄을 풀이 옆에 적는다.
- a ↔ A, b ↔ B처럼 맞은편 변과 각을 연결한다.
- 주어진 각들의 합이 180°보다 작은지 확인한다.
- 그 뒤에 사인법칙의 비율을 선택한다.
라디안으로 A=π/6, B=π/3, a=10이 주어진 경우에도
C = π - π/6 - π/3 = π/2
이므로 삼각형은 성립한다. b는
b = 10 × sin(π/3)/sin(π/6) = 10 × (√3/2)/(1/2) = 10√3
이다. 도 단위와 라디안 단위를 섞지 않고, 각의 합을 같은 단위로 계산한 점까지 확인해야 한다.
새 조건에서 첫 줄이 유지되는지 확인하기
마지막으로 a=12, A=30°, C=90°인 문제에서 c를 구한다. 먼저
B = 180° - 30° - 90° = 60°
를 적고, 대응 관계를 유지하여
a/sin A = c/sin C
를 세운다. 따라서
c = 12 × sin 90°/sin 30° = 12/(1/2) = 24
이다. 이때 a와 C를 맞은편 쌍처럼 놓지 않고, a와 A 및 c와 C를 정확히 연결했는지 확인한다. 계수와 각의 표기가 달라져도 삼각형의 내각 조건과 맞은편 대응을 먼저 적었다면 같은 관계로 계산할 수 있다.