금정동 고3 수학과외에서 확인한 여사건과 확률의 관계
금정가구거리와 신환아파트가 있는 금정동 생활권에서 고3 학생의 시험 준비를 점검할 때는 귀가 후 과제량과 문제풀이 순서를 함께 살핀다. 흥진고등학교와 군포고등학교가 금정동에 있고, 용호고등학교·수리고등학교·군포중앙고등학교는 같은 군포시의 참고 학교이므로 소재지를 혼동하지 않도록 구분했다.
여사건을 원래 사건과 같게 둔 풀이
한 개의 주사위를 던져 사건 A를 “짝수가 나오는 사건”이라고 하자. 학생은
A={2, 4, 6}, P(A)=3/6=1/2
까지는 맞혔지만, 여사건을 전체 사건과 같은 것으로 취급하며 다음과 같이 적었다.
P(Ac)=P(A)=1/2
이 식은 이 예에서는 우연히 값이 같아 보여도, 여사건의 원소를 잘못 이해한 오답이다. Ac는 A에 포함되지 않는 결과이므로 Ac={1, 3, 5}이고, 전체 표본공간 S에 대해 A와 Ac는 서로 배반이며 S를 완전히 나눈다.
표본공간과 포함 관계부터 다시 확인하기
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 표본공간과 사건의 관계를 적었다.
- S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
- A={2, 4, 6}
- Ac=S-A={1, 3, 5}
- A∩Ac=∅, A∪Ac=S
따라서 확률의 기본 성질에 의해
P(A)+P(Ac)=1
이고, 정확한 식은
P(Ac)=1-P(A)=1-1/2=1/2
이다. 이 문제에서는 A와 Ac의 원소 수가 같아서 결과만 같았을 뿐, 두 사건을 같은 사건으로 놓은 학생의 식은 여전히 잘못되었다. 학생은 수정한 값으로 다시 합을 계산하여 1/2+1/2=1인지 확인하고, 주사위 결과를 수직선에 표시해 빠진 결과가 없는지도 검산했다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음에는 주사위가 아니라 숫자 1부터 10까지 중 하나를 임의로 고르고, 사건 B를 “3의 배수가 아닌 수를 고르는 사건”으로 바꾸었다.
B={1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}, P(B)=7/10
여사건은 “3의 배수를 고르는 사건”이므로
Bc={3, 6, 9}
이다. 원래 사건과 여사건의 확률을 같게 두지 않고 첫 줄부터
P(Bc)=1-P(B)=1-7/10=3/10
으로 작성한다. 마지막으로 7/10+3/10=1을 계산해 두 사건이 전체 표본공간을 빠짐없이 나누는지 확인했다. 조건이 바뀌어도 여사건을 원래 사건과 동일시하지 않고, 포함 관계와 확률의 합을 먼저 점검하는 방식으로 풀이를 유지했다.